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《直线的参数方程及其应用举例.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.直线的参数方程及应用问题1：（直线由点和方向确定）求经过点0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程.P(x0设点P(x,y，y)是直线l上任意一点（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过0P0作x轴的平行线，两条直线相交于PQ点.001)当P0P与直线l同方向或P和P重合时，lP(x,y)QxP0P＝
2、P0P
3、则P0Q＝P0PcosQP＝P0Psinl2)当P0P与直线l反方向时，P0P、P0Q、QP同时改变符号0PP＝－
4、PP
5、PQ＝PPcosQP＝PPsin仍成立Py00000设P0＝，t为参数，PtP(x,y)又∵P0Q＝xx0，xx0＝tcosQxQ
6、P＝yy0∴yy0=tsin0即xx0tcos是所求的直线l的参数方程yy0tsin∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点P0(x0,y0)到点P(x,y)的有向线段的数量，且
7、P0P
8、＝
9、t
10、①当t>0时，点P在点P0的上方；②当t＝0时，点P与点P0重合；③当t<0时，点P在点P0的下方；特别地，若直线l的倾斜角xx0t＝0时，直线l的参数方程为yy0y④当t>0时，点P在点P0的右侧；l⑤当t＝0时，点P与点P0重合；⑥当t<0时，点P在点P0的左侧；0问题2：直线l上的点与对应的参数t是不是一对应关系？我们把直线l看作是实数轴，以直线l向上的方向为
11、正方向，以定点P0为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了一一对应关系.P0P(x,y)xylP0Px0问题3：P1、2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、2，Pt则PP＝？，∣PP∣=？1212P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣t2－t1∣'..问题4：若P为直线l上两点P、P的中点，P、P所对应的01212参数分别为t1、t2，则t1、t2之间有何关系？l根据直线l参数方程t的几何意义，y2PPP＝t，PP＝t，∵P为直线l11220P上两点P1、P2的中点，∴
12、P1P
13、＝
14、P2P
15、0xP1＝－2，
16、即t1＝－212PPPPt,tt<01一般地，若P、P、P是直线l上的点，0123、t，P为P、P的中点所对应的参数分别为t、t123312则t＝t1t2（∵PP＝－PP,根据直线l参数方程t的几何意义，321323∴P1P3=t3－t1,P2P3=t3－t2,∴t3－t1=－(t3－t2,)）总结：1、直线参数方程的标准式的直线l的参数方程是(1)过点P(x0,y0)，倾斜角为0xx0tcos（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段P0P的数量，P(x,y)yy0tsin∣PP∣=tPP=t为直线上任意一点.00(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则
17、PP=t－t1∣PP∣=∣t－t∣1221221、、(3)若P1、2、3是直线上的点，所对应的参数分别为t123PPttt1t2,∣P0P3∣=t1t2则P1P2中点P3的参数为t3＝22(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t2<02、直线参数方程的一般式b的直线的参数方程是过点P0(x0,y0)，斜率为kaxx0at（t为参数）yy0bt例题：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线l1的普通方程x3y1＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣的几何意义.解：令y=0,得x＝1，∴直线l1过定点(1,0).k＝－1=－333'..设倾斜角为，tg=
18、－3,=5,cos=－3,sin=13622l1的参数方程为x13t（t为参数）2y1t2t是直线l1上定点M0（1，0）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的数量.由x13t(1)12t(2)y2(1)、(2)两式平方相加,得(x1)2y2t2∣t∣＝(x1)2y2∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线l2的参数方程x3t（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，y13t说明∣t∣的几何意义.解：原方程组变形为x3t(1)(1)代入(2)消去参数t，13t(2)y得
19、y13(x3)(点斜式)可见k=3,tg=3,倾斜角=3普通方程为3xy3310(1)、(2)两式平方相加,得(x3)2(y1)24t2∴∣t∣=(x3)2(y1)22∣t∣是定点M0（3，1）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线l1的参数方程为x13t即x1tcos5是直线方程的标准形式，(-3)2+(1)2=1,t的几何2622y1y5ttsin26意义是有向线段M0M的数量.直线l2的参数方程为x13t是非标准的形
