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《直线地全参数方程及其指导应用举例.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、直线的参数方程及应用yh0hP0hP()Q问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程.设点P()是直线上任意一点，（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.1)当与直线同方向或P0和P重合时，yh0hP()P0hQP0P＝
2、P0P
3、则P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin2)当与直线反方向时，P0P、P0Q、QP同时改变符号P0P＝－
4、P0P
5、P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin仍成立设P0P＝t，t为参数，又∵P0Q＝，＝tcosQP＝∴=tsin即是所求的直
6、线的参数方程∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线上从已知点P0()到点P()的有向线段的数量，且
7、P0P
8、＝
9、t
10、①当t>0时，点P在点P0的上方；②当t＝0时，点P与点P0重合；③当t<0时，点P在点P0的下方；yh0hP0hP()特别地，若直线的倾斜角＝0时，直线的参数方程为④当t>0时，点P在点P0的右侧；⑤当t＝0时，点P与点P0重合；yh0hPP0h⑥当t<0时，点P在点P0的左侧；问题2：直线上的点与对应的参数t是不是一对应关系？我们把直线看作是实数轴，以直线向上的方向为正方向，以定点P0为原点，以原坐标系的单位长为单位长，
11、这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了一一对应关系.问题3：P1、P2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2＝？，∣P1P2∣=？P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣t2－t1∣问题yh0hP1P0hP24：若P0为直线上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的参数分别为t1、t2，则t1、t2之间有何关系？根据直线参数方程t的几何意义，P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线上两点P1、P2的中点，∴
12、P1P
13、＝
14、P2P
15、P1P＝－P2P，即t1＝－t2,t1t2<0一般地，若P1、P2、P3是直
16、线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点则t3＝（∵P1P3＝－P2P3,根据直线参数方程t的几何意义，∴P1P3=t3－t1,P2P3=t3－t2,∴t3－t1=－(t3－t2,)）总结：1、直线参数方程的标准式(1)过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程是（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段的数量，P()P0P=t∣P0P∣=t为直线上任意一点.(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2=t2－t1∣P1P2∣=∣t2－t1∣(3)若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t
17、1、t2、t3则P1P2中点P3的参数为t3＝,∣P0P3∣=(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t2<02、直线参数方程的一般式过点P0()，斜率为的直线的参数方程是（t为参数）例题：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线的普通方程＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣的几何意义.解：令y=0,得＝1，∴直线过定点(1,0).k＝－=－设倾斜角为，tg=－,=,cos=－,sin=的参数方程为（t为参数）t是直线上定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的数量.由(1)、(2)两式平方相加,得∣t∣＝∣t∣是定
18、点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线的参数方程（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t∣的几何意义.解：原方程组变形为(1)代入(2)消去参数t，得(点斜式)可见k=,tg=,倾斜角=普通方程为(1)、(2)两式平方相加,得∴∣t∣=∣t∣是定点M0（3，1）到t对应的点M()的有向线段的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线的参数方程为即是直线方程的标准形式，(-)2+()2=1,t的几何意义是有向线段的数量.直线的参数方程
19、为是非标准的形式，12＋()2=4≠1，此时t的几何意义是有向线段的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式吗？例3：已知直线过点M0（1，3），倾斜角为，判断方程（t为参数）和方程（t为参数）是否为直线的参数方程？如果是直线的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线的的普通方程，所以，以上两个方程都是直线的参数方程，其中cos=,sin=，是标准形式，参数t是有向线段的数量.，而方程是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能
20、辨别其标准形式，会利用参数t的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t的代换.
