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1、止交曲线坐标系流体运动方程摘要:流体动力学基本方程是求解流体力学问题的依据和基础，把流体作为连续介质分析吋,需要根据牛顿经典力学中的一些物理定理并结合流体特征來建立一些运动方程，本文由动量定理推导出任意正交曲线坐标系下运动方程，即N・S方程。关键词：正交曲线坐标系，动量，黏性流体，可压缩流体0流体动力学基本方程是求解流体力学问题的依据和基础，它们是对流体作为连续介质的假设下，根据经典力学中的质量守恒、动量守恒和能量守恒定律，并结合流体本构方程而建立的。为便于讨论和分析在各种情况下的流体力学问题，
2、需要将流体力学基本方程在各种坐标系（包括任意非正交曲线坐标系）屮作出推导。为求解各种具体的流体力学问题需要，还要对流体力学基本方程作出不同层次简化，并对简化后的方程性质有清楚了解。本文主要探讨在正交曲线坐标系下动量方程（N-S方程）。1以应力形式表示的动量方程在黏性流体中，正交曲线坐标系中取微元六面控制体，其长分别为dsi，ds2,ds3,如图1所示，其中动量守恒方程是根据动量守恒定律推导出來的，动量方程可表示为控制体内流体动量对时间的导数等于作用在控制体上的外力矢量和。图1微元控制体一是当地导
3、数，表不动量*示控制体内单位时间通过控制而流出和流进的动暈差值。这里动量对吋I'可的导数表示为全导数，由两部分组成：一是当地导数，表示动量对时间的变化率；二是迁移导数，表（1）dt时间内,动量对时间的导数在5方向上小时间进入左侧面流体的动量VpV}h2lt^dq2dq3dt4-在5方向上dt时间流出和流入的流体动量差值同理，在q?，q3，方向上2dt时间内，作用在流体上的外力有质量力和表面力了表示单位质量流体所具有的质量力，则dt时间内，作用在流体上的质量力为pfdslds2ds3=pfh}h2
4、hydqxdq2dqydtdq{ds2dsydt=p^lz.dq-^dq^dt+-y—()dqydq2dq3dt在qi方向上dt时间，作用在左侧而上的表而力为pxds2dsy=p^h^dq^dq^dt。作用在右侧面上的表血力为I物7在q】方向上dt时间，作用在左右两侧面上的表面力之差为—[p.h^dq^dq.dt同理，在q?，q3，方向上-^―（卫訥居）dq}dq2dq3dt鲁-(几人包)阿呦2呦3力根据动量定理，有—(pV)h^h^dc^dq^q^dt+卫-(VpV{包宓)坳歿“仏力+~~(“
5、PVJ讥^dq}dq2dqycltuIuq、uq=■^--^—[VpV3h}h2^dqidq2dq^dt=pfh^h^dq^dq^q^dt+p}h2l^)dq{dq2dq3dt+y-(p.h^^dq{dq2dqydt+(心九包)dq}dq2dq3dt等式两边同时除以h^dq.dq.dq.dt,可得动量输送方程(2)紳）+总[訂加心訂0亦）煤例盹）"了+总訥丛）+話伍也）+訂伍吐）_把式（2）左端展开，有v
6、^£+_L_[dtZ?1/z2/73訂（pK包冋）+鲁-S%人包）+訂javv,dvv.d
7、vv3dv+P—i1—=1—：—dth}%h2dq2他dq3上式大括号内的各项是正交曲线坐标系下可丿玉缩流体非定常三维流体的连续性方程的左端,应等于零。所以，式(2)变为以应力矢量形式表示的运动方程近+匕西+冬西+匕_西」(3)dth}It,dq2包dq3」蛊冷加A)+話杯)+訂网石对于直角坐标系(x,y,z),有力］=1,心=1,仏=1%二u,V2=v,V3=GJq{=x,q2=y,q3=zPl=Px»Pl-By'戸3=Pz于是得到直角坐标系下的以应力形式表示的动量方程dvdvdvdvFUFV
8、FGJdtdxdydz龙+亟+尘+亟dxdydz(4)DV~Dt利用下式写成分量形式dvdvdvdv——+uv卜0——dtdxdydz7=/J+fJ+f^px=p.J+pJ+p衣Py=PyJ+PyyJ+PyfPz=PJ+PZyJ+PJ£Bp、、BpXV必+¥+亍+dxdxpfy+叽丄叽•Dudxdxr认dp:y必+于+亍+dxoxDvp応DGJ若对于单位质量流体，有£•+叽+叽+认Dudxdxdx_Dtfy+「叽+叽+叽「_Dvdxdxdx_Dt叽+込+叽_DGJdxdxdx_Dt(6)以上方程
9、中包含有12个未知数，共有3个方程，不能求解，需要采用本构方程进行简化，以减少未知数数目。2N-S方程对于式（5）或式（6）,根据本构方程，将其中的应力用应变的形式表示出来，就得到正交曲线坐标系下的N-S方程。把本构方程带入式（5）中，以x方向为例推导如下=-p+^i—^divV+l^+炸(2坐,)+软唱J根据£XXdudxpHpf如d(卩DtPJxdxdx[dyIdxdyJ(7a)同理dx3u、1dxdy丿3vDGJP~Dtdxdz丿(7b)(7c)上式为黏性流体的运动方程，即可压缩黏性流体的
