正交坐标系与矢量

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1、矢量与场论1–正交坐标系与矢量SouthChinaUniversityofTechnology内容•矢量•正交曲线坐标系•三种坐标系之间的关系•三种坐标系的单位坐标矢量之间的关系SouthChinaUniversityofTechnology1矢量人类对数的认识过程标量：大小矢量：大小、方向矩阵：m个n维矢量的有序组合。人的五官感知的世界是三维的，但人的思维是n维。SouthChinaUniversityofTechnology数学是使人类思维走向更高维的桥梁。数学是描述世界的最简洁语言。简洁的语言是深奥理论的源泉。本课程所讨论的矢量

2、是指3维或2维矢量。SouthChinaUniversityofTechnology矢量表示•物理表述：矢量是指既有大小又有方向的量。•几何描述：有向线段，即箭头表示方向，长度表示z大小。AzA•数学表述：单位矢量表示法：AAaˆAˆˆA,1oaayAAAAxAy坐标表示法：xAAaˆˆˆAaAaxxyyzz矩阵表示法：AAAA[,,]SouthChinaUniversityofTechnologyxyz矢量运算－线性运算(加减法)加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。加法的几何表示：BCC

3、CABBAA加法的坐标表示：AAaxˆˆˆxAayyAazzBBaBaBaxˆˆˆxyyzzSouthChinaUniversityofTechnologyCABABaABaABa()ˆˆˆ()()xxxyyyzzz数乘：kAkAaˆˆˆkAakAaxxyyzz满足交换律：ABBA满足结合律：()ABCDACBD()()()SouthChinaUniversityofTechnology减法：换成加法运算DABAB(

4、)逆矢量：B和()B的模相等，方向相反，互为逆矢量。DADABBBBCAABC0推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其SouthChinaUniversityofTechnology矢量和必为零。矢量运算－点乘点积或标量积BABABcos(,AB)ABABABxxyyzATAB(矩阵表示）两矢量点积含义:矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。如果eˆ为单位矢量，则Aeˆ表示矢量A在eˆ方向的投影。SouthChinaUniversity

5、ofTechnology运算规律ABBA(交换律）ABCABAC（)(分配律）如果A与B正交，则AB0在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即aaˆˆ0,aaˆˆ0,aaˆˆ0xyxzyzaaˆˆ1,aaˆˆ1,aaˆˆ1xxyyzz两矢量点积为：SouthChinaUniversityofTechnologyABA()aAˆˆˆˆˆˆaAaB()aBaBaxxyyzzxxyyzzABABABxxyyzz矢量运算－叉乘叉积或矢量积CA

6、BaaaˆˆˆxyzABAAAxyzBBBBxyzABA＝BAsin(,B)AAB大小为这两个矢量构成的平行四边形的面积，方向与这两个矢量垂直，且A、B与AB符合右手螺旋规则。SouthChinaUniversityofTechnology如果A与B平行，则AB0运算规律：服从分配律ABBA(反交换律）ABCABAC（)(分配律）A（BCBCACAB)()()A（BCBACCAB)(

7、)()SouthChinaUniversityofTechnology矢量运算－例题例1证明：()ABCDACBDADBC()()()()()证：应用矢量恒等式A（BCBCACAB)()()A（BCBACCAB)()()有()ABCDCDAB()(())CA((DBBDA)())SouthChinaUniversityofTechnology()CADBCBDA()()

8、()得证。2正交曲线坐标系【曲线坐标的概念】曲线坐标：如果三位空间中的点与三个有序数q、q