2012电磁场与电磁波02矢量场论1正交坐标系

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1、电磁场与电磁波ElectromagneticFieldsandWaves第一章矢量场论1谢泽明华南理工大学电子与信息学院TEL:13662486310Email:qxchu@scut.edu.cn–矢量代数和三种常用的坐标系内容矢量代数直角坐标系圆柱坐标系球坐标系三种坐标变量的关系三种坐标单位矢量之间的关系数学是使人类思维走向更高维的桥梁。数学是描述世界的最简洁语言。简洁的语言是深奥理论的源泉。本课程所讨论的矢量是指3维或2维矢量。矢量代数人类对数的认识过程标量：数字、代数、函数。矢量：2个或3个标量的有序组合。N维矢量：n个标量的有序组合。矩阵：m个n维矢量的有序组合。人的

2、五官感知的世界是三维的，但人的思维是n维。物理表述：矢量是指既有大小又有方向的量。几何描述：有向线段，即箭头表示方向，长度表示大小。数学表述：单位矢量表示法：坐标表示法：矩阵表示法：矢量表示矢量运算－线性运算(加减法)加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。加法的几何表示：加法的坐标表示：满足交换律：满足结合律：数乘：减法：换成加法运算逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。矢量运算－点乘点积或标量积两矢量点积含义一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。如果为单位矢量，则表示矢量在方

3、向的投影。运算规律如果与正交，则在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即两矢量点积为：矢量运算－叉乘叉积或矢量积大小为这两个矢量构成的平行四边形的面积，方向与这两个矢量垂直，且、与符合右手螺旋规则。如果与平行，则运算规律：不服从分配律和结合律矢量运算－例题例2-1证明：证：应用矢量恒等式有得证。三种常用的坐标系为了描述物理量在空间的位置与分布，必须引入坐标系电磁分析中常用有坐标系有：直角坐标系圆柱坐标系球坐标系根据研究的物体和空间的特点选用不同的坐标系直角坐标系三个坐标变量是x，y，zx=常数、y=常数、z=常数的三个曲面（坐标面）为平面正交，为正交坐标系。两个坐标面的

4、交线（坐标曲线）为直线。坐标曲线两两正交（正交坐标系）坐标单位矢量（坐标曲线的切线方向单位矢量）为，指向对应坐标增加的方向。直角坐标系的坐标单位矢量是常矢量，其方向不随点M的位置变化而变化。线元（长度元）矢量线元：带方向的线段dl，大小为长度，方向为线的方向。dl=axdx+aydy+azdz面元矢量面元：带方向的小面积dS=andS，大小为面积，方向为面的法线方向。体元dl圆柱坐标系的三个坐标变量r,,zr=常数、=常数、z=常数的三个曲面正交，为正交坐标系坐标曲线为直线和圆圆柱坐标单位矢量为ar,a,az在柱坐标系中，az是常矢量，ar,a都是变矢量，其方向随点M

5、的位置变化而变化。圆柱坐标系线元（长度元）面元体元球坐标系三个坐标变量是r，，r=常数、=常数、=常数的三个曲面正交，为正交坐标系球坐标单位矢量为ar,a,a坐标单位矢量与位置有关线元（长度元）面元体元三种坐标系之间的关系——坐标变量之间的关系直角坐标系与柱坐标系直角坐标系与球坐标系柱坐标系与球坐标系三种坐标系的关系——坐标单位矢量之间的关系直角坐标系与柱坐标系的坐标单位矢量之间关系柱坐标系与球坐标系的坐标单位矢量之间关系球坐标系与直角坐标系的坐标单位矢量之间关系【例2-1】矢量函数在柱坐标系中为求A在直角坐标系中的表达式。解：根据得对于不同的坐标面，，因此是坐

6、标变量的函数。根据是常矢量，在对的求导时可视为常数。【例2-2】求柱坐标系中单位矢量对坐标变量的偏导数解：在柱坐标系中，是常矢量，则则【例2-3】在柱坐标系中，已知和分别是定义在点和上的两个矢量，求点在的矢量C，与其与A和B的关系为C=A+B。解：因为点P和点Q不在同一平面上，所以也不在同一平面上，故不能直接求和，需要变换到直角坐标系中运算。根据对于P点则A在直角坐标系中的表达式为同理则又在点S处，有故在柱坐标系中，一般正交曲线坐标系【曲线坐标的概念】曲线坐标：如果三维空间中的点与三个有序数q1、q2、q3一一对应，则称q1、q2、q3为三维空间的坐标。显然,q1、

7、q2、q3是空间点的单值函数。坐标曲面：由q1=c1、q2=c2、q3=c3(c1、c2、c3均为常数)构成的三族等值曲面，称为坐标曲面。由q2=c2、q3=c3相交而成的坐标曲线上，只有q1在变化，称之为坐标曲线q1。由q1=c1、q3=c3相交而成的坐标曲线，称之为坐标曲线q2。由q1=c1、q2=c2相交而成的坐标曲线，称之为坐标曲线q3。坐标曲线的单位矢量：坐标曲线的切向单位矢量，且正向指向曲线坐标函数增加的一侧。注意：曲线坐标系中曲线坐标的单位矢量随空间点不同而变化。正交曲线坐标系：坐标曲线的