电磁场序-矢量分析与场论

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1、天津大学电工电子技术中心updateddate2009.9.12场论复习0.1标量场和矢量场场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量.例1在直角坐标下,标量场如温度场,电位场,高度场等;矢量场如流速场,电场,涡流场等.形象描绘场分布的工具--场线矢量场--矢量线标量场--等值线(面).其方程为其方程为三维场在直角坐标下:二维场图0.1.2矢量线图0.1.1等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？例2求矢量场通过点M(2,-1,1)的矢量线方程.解:矢量线应该满足的微分方程为由上面第一个方程得。另一方面将坐标M(2,-1,

2、1)代入，得最终方程为矢量线的推广:矢量面:对于场中任意一条曲线C(非矢量线),在其上的每一点处,必然有一条矢量线通过,这些矢量线的全体就构成一张通过曲线C的曲面,称为矢量面.矢量管:如果C是一条封闭曲线时,通过C的矢量面就构成一管形曲面,称为矢量管.图0.1.3矢量面与矢量管例2求矢量场通过曲线的矢量管方程.(自己认真思考和推导!)0.2标量场的梯度一.梯度设当,即与方向一致时,为最大.设一个标量函数(x,y,z),若函数在点P可微,则在点P沿任意方向l的方向导数为:梯度(gradient)哈密顿算子式中则有:式中，，，分别是与x,y,z轴的夹角例

3、1三维高度场的梯度例2电位场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。电位场的梯度与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。数值等于该点的最大方向导数；二.梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;图0.2.1三维高度场的梯度图0.2.2电位场的梯度0.3矢量场的通量与散度一、通量矢量E沿有向曲面S的面积分>0(有正源)<0(有负源)=0(无源

4、)图0.3.1矢量场的通量图0.3.2矢量场的通量若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:二、散度如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即散度(divergence)计算公式三、散度的物理意义散度代表矢量场的通量源的分布特性•A=0(无源）•A=0(负源)•A=0(正源)在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；四、高斯公式(散度定理)高斯公式该公式表明了区域V中场A与边

5、界S上的场A之间的关系。矢量函数的面积分与体积分的互换。图0.3.3散度定理由于是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对体积分后，为穿出闭合面S的通量0.4矢量场的环量与旋度一、环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分环量例：流速场图0.4.2流速场图0.4.1环量的计算二、旋度1.环量密度过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限环量密度取不同的路径，其环量密度不同。2.旋

6、度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。旋度(curl)它与环量密度的关系为在直角坐标系下三、旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)；点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理A是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为Stocke’s定理在电磁场理论中，Gauss公式和Stockes公式是两个非常重要的公式。矢量函数的线积分与面积分

7、的互换。该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系若矢量场处处A=0，称之为无旋场。图0.4.3斯托克斯定理0.5亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）例：判断矢量场的性质=0=0=000=00.6三种特殊形式的场1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为Z轴)的一族平行平面上，场F的分布都相同，即F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为Z轴)的

8、一族子午面上，场F的分布都相同，即F=f(r,)，则称这个场为轴