谈“恒成立”之策略-论文.pdf

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1、治学之法2013—11谈“恒成立”之策略文／蔡丽菊摘要：在高中数学中，恒成立数学问题是一类综合性较强的题型。恒成立的实质是对所有实数成立或者针对一定范围内都成立或者某种限制条件下都成立，解决恒成立题型能启发学生全面地看待问题。关键词：任意；不等式；定义域数学课本中的公理定理推论公式等都可作为恒成立的结论：‘．．cos20—3>2tacos0—4m星口2m(2-cos0)>3一cos20例如，二次函数图象开口向下时，则函数值在顶点处取最大值，开·’．2-cos[1'3]_2m>毫Z-COSf=Z-COSf口向上

2、时，在对称轴的右面呈递增的特性；奇函数都有0)=0成．2-cos20=立(，()在x=0时有定义)；指数函数的值恒为正等。具体来说有下．’_m>2+c0s=4一[2⋯s]2删面的恒成立题型。下面研究一些常见的解决恒成立问题的方法，以令2-cos0：￡，t∈[1，3]肌>4一[￡+]提高我们分析数学问题、解决数学理论和实际应用题的能力。t策略一：巧用判别式即4一m<+在￡[i,33上恒成立，即求g(f)=￡+在f例．如若函数)：、／2。一1的定义域为R，则。的取值范[1，3]上的最小值围是什么?·．(￡)=￡+

3、≥2、／等式成立条件￡=，即￡=x／2-[1，3]t解：·．)：、／一一1的定义域为∈R．2I>1恒成立，即2-2一fi≥0恒成立，成立．g(f)2、／‘·．．．．A≤O即(2a)．4×(一a)≤O，4-m<2、／即m>4—2、／，解得一1≤口≤0．．·肌的取值范围为(4—2、／，，+。。)变题：若函数y=log2(ax2+2x+1)的定义域为R，求a的取值范围?策略四：数形结合解：定义域为R，则蕊：++l恒成立．例．若不等式3x2-1。<0在[0，]内恒成立，求实数。的①若a=O，则2x+l>O，不是恒成立

4、．取值范围。②若a#O，则鲫++1是二次函数恒大于0，则开口向上，Ⅱ>O且和轴没有交点，所以A1．解：由题意知：321．在同一坐标系内分别做出y=3x和y=log,x的图象策略二：借助单调性例．已知：Ⅱ>1，若仅有一个常数C使得对于任意的[n，2a]，因为∈C0,}]时，y=l。g的图象位于函数y=的图象上都有Y∈[at]满足方程logg+log．y=c，求a的取值集合。方，当a>l时，显然不成立，故0

5、’1．y=在∈[Ⅱ，2alOft．递减，由图可知：y=l。的图象必须过点[}，}]或在这个点的上‘1．．=Ⅱc～，=一方，则：l。1>一『一≤a2==>c≤3{1’·寺②(—}≥口=>-2≥2=>c>log2+2【‘’．log2+2≤c≤3时，而c值只有1个．c=3，即loga2=1，有2由①②知寺≤。≤1'．．。的取值范围为[寺，13·．．a的取值的集合为：{2}变式：如果对任意实数，不等式Ix+lI≥恒成立，则实数策略三：变量分离k的取值范围是什么?例．已知定义在R上函数．)为奇函数，且在[0，+。。)上

6、是增恒成立问题是历年高考的一个热点，这类问题的解决最终归函数，对于任意∈R，求实数m的范围，使，(cos20—3)+f(4m一结为对函数性质、函数思想的应用。涉及一次函数、二次函数、三角2mcos0)>0恒成立。函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数解：‘．)在R上为奇函数，且在[O，+∞)上是增函数，形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能’力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。．)在[一a。，+∞)上为增函数．又’．](cos20-3)4m一2mc

7、osO)>O(作者单位江苏省昆山中学)．。cos20-3)>4m一2mcos0)2mcosO-4m)·编辑王团兰一12R一