王升瑞(数项级数及审敛法).ppt

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1、主讲教师:王升瑞高等数学第二十九讲1二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十二章2一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”3定理2(比较审敛法)且存在对一切有1、若级数（2)则级数(1)2、若级数（1）则级数（2）证略则有收敛,也收敛;发散,也发散.两个正项级数,(常数k>0),4解1：发散,例1：判断下列级数的敛散性而收敛由比较判别法可知原级数收敛解2：而由比较判别发可知原级数

2、发散。5证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.6例3.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,2）若顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起此式由比较判别法可知p>1时，p级数收敛。7重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切8例49例510例611证例612定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=+∞证明略！设两正项级数满足(1)当0

3、级数,当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数14比较审敛法的极限形式表明，无穷级数收敛与否最终取决于级数的一般项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。例如：与为等价无穷小，发散，可以推得发散。与为等价无穷小，收敛，可以推得收敛。可见，通过无穷小（大）的等价关系，简化中的进而利用已知级数的敛散性来判断的敛散性。15例716的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知原式收敛。例8.判别级数17的敛散性.例9.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知例10.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知发散，收敛，18例11.判别级数的敛

4、散性.解:根据比较审敛法的极限形式知收敛，19例12：1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)故原级数发散.20故原级数收敛.（3）解取21（4）22定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.23例1：判断下列级数的敛散性解：解：由正项级数的比值判别法可知原级数收敛。由正项级数的比值判别法可知原级数发散。解：比值判别法失效！24解因分母的最高次数与分子的最高次数之差为用比较法！则

5、取为p级数，且p>1,则原级数收敛。25解：比值法失效，但故级数发散。26例2.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;27解：考虑以为通项的级数用比值法知级数收敛，例3：求证28定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则证明:略！数,且时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.29例1：判断下列级数的敛散性解：由正项级数的根值判别法可知原级数发散。解：由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。解：由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。30例2.证明级数收敛于S,近似代替和S时所产生的误差.

6、解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn31定理6.（积分判别法）设在上非负单调连续函数，则与有相同的敛散性。证明不妨设是单减函数，于是当有从而有以及即于是，若收敛，表示为常数，32有可知有界，根据定理级数收敛。发散，因为在上非负，故当可推得无界，级数发散。只能有若33例3.判别级数的敛散性.解:所以，当时，反常积分发散，原级数发散；时，反常积分收敛，原级数收敛；34二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理7.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足定义35证:是单调递增

7、有界数列,又故级数收敛于S,且故36收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛37(4)解设由知单调减少，从而有所以，交错级数收敛。38三、任意项级数的判敛法定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,则称原级数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.可正可负可为零。39定理8.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令40例1.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.41解因此收敛,绝

8、对收敛.例1.证明下列级数绝对收敛:42例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。分析：此为交错级数，是否绝对收敛用