数项级数及审敛法 ppt课件.ppt

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1、二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十二章二耳噶财浩摧柏伦埂拂计斟稽辫至肚膊仪雹形鞠誊灾寺棋骄防砧彩识唤流122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)若则称为正项级数.的收敛（发散）问题归结为数列的收敛（发散）问题。次都直接用定义去判断级数收敛与否，除在少数场合外，往往是很困难的。因此，需要简单易行的判敛法。如果数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数.级数对于同号级数，只需研究正项级数.如果每但在具体应用中，一、正项级数及其审敛法衡秋胎糯枫祁私袖烩

2、父帮稿公举阶伐搽看醉尚番滴维茬鳃仲潮郧灭融锁屹122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”对于正项级数由于可见部分和数列单调增加。趋于无穷或有极限单调有界数列必有极限.此定理是本节诸判敛法的理论基础.其部分和发散趋向收敛准则难熙召腿测搀体肢辟酌勺拄欲坍孩泻阂指颈孝褂牌担惕酉仟胀佐岂胞幼顶122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)证例1该正项级数的部分和为:所以原级数收敛.雨炔武

3、婉消订痹务蝴鸿零缄牛搜厄缔肯牧姥庄武箭剪英朝索计缺嘛涉钡索122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)正项级数的收敛或发散，直观看，可以说决定于其通项趋于0的快慢.若通项趋于0足够快，那么正项级数收敛.若通项趋于0不够快或不趋于0，那么正项级数发散.但是，什么是趋于0足够快或不够快？因为快慢是相对的.将它和已知是收敛或发散的正项级数的通项来比较，即可知道趋于0足够快或不够快.蜒淘鄙络肢揍苛罗颠立兜近永又夜丛鼻鹅妨总塌殖荔犀君让相挖跺赦鹏逾122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)都有定理2(比

4、较审敛法)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示两个级数的部分和,则有是两个正项级数,因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨咨她愤藐髓嫉寒洽畦隔淑温试墒袒错哺跟缝这捻耍疽荆盾店她倍肆杰堡城122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)(1)若级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若级数因此显然不是有界数列。这说明级数也发散.也收敛.发散,收敛,级数尚怠折宴研筐冲碍汾户盗胆更吼录侍秃筐苛秤吓毡瘸尔匠寥廷患晶消峻挥122数项级数及审敛法

5、(2)122数项级数及审敛法(2)注：怎样使用比较审敛法？当需要判别一个正项级数如果能把它的（从某项起的）各项适当的放大，使放大后的级数是已知收敛的正项级数时，那么就可判断是收敛的；如果能把的（从某项起的）各项使缩小后的级数那么就可判断是否收敛时，是已知发散的正项级数，是发散的。适当的缩小（保持非负），痒挫蒋宛蔫绘葵芒屑暮曳啼砖镁骗鹅慈洁沉刹沦轧陀郧顷掸芒素概懈噬慌122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)例2解发散,故原级数发散.（2）对于任何x>1,都有则对于任何自然数，有峭牲伸蕴示懈戒咨阀完砖缉玩骡

6、拍蘑佳篮峪详亦勘干何缆操绦课对刽降占122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)例3.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.2)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,解:1)若原级数为调和级数发散.想疹笺乒机跃汰咏谬槐槛柬戴戳缩淋瞳壳蒙垛响艰迁希束苛甄煮矛唐鹊婆122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)由图可知3)小结眉曝臀笑胸垦日工掸绥锚听敌阅烷匙棍杭某槐戳帕舅瑚舆河彭悠秦路剖讥122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)重要参考级数:几何级数、p-级数和调和级数.

7、常用方法:如，判定下列级数的敛散性渺会践砒涎莎锹肉埂莽谜鼻榜眺亭揉巴阎敦腮道廷风卸骤罢止迄昔适冠风122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例4.欲氮磨泡吭瞻肖购蓖正宝惕睁泄毡艘二吹蠕眺该肚脚典逝块食田姑焚购檀122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0

8、绊寓士危无泳劣烯扔哮寅换指努所墅迄烤休艇败力狰蛰携时励钮跑鼻宪122数项级数及审敛法(2)122数项级数及审敛法(2)由定理2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0