数项级数及审敛法ppt课件.ppt

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1、二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十二章一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k>0),例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若调和级数与

2、p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0

3、;级数发散;二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.则称原级定理7.绝对收敛的级数一定收敛.例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.(2)令因此收敛,绝对收敛.小结12.1.2、若级数与分别收敛于

4、（A）（B）（C）（D）D结论中不成立的是，则下述解:如取,,则,而发散.,vnn=¥å112.1.3、若级数收敛，其和（B）（C）（D）解:（D）取C，则下述结论成立的是（A）收敛收敛收敛收敛12.1.4、下列级数中，哪一个发散（B）（C）B（D）解:（B）（C）（D）（A）12.1.6、若级数收敛，（为常数），则（A）（B）（C）（D）解:公比为,所以,若级数收敛，,即D满足条件是12.1.7、设（A）（B）（C）（D）解:,收敛,由比较审敛法肯定收敛.，则下列级数中肯定收敛的是12.1.8、下列级数中，条件收敛的是（B）（C）（D）解:（B）（C）（D）都绝对收敛.A（A）

5、12.1.10、级数绝对收敛是(A)充分必要条件；（B）必要但非充分条件；（C）充分但非必要条件；（D）既非充分又非必要条件解:级数绝对收敛收敛C收敛的由比较审敛法，反之，结论不成立，如（A）级数（B）级数（C）若发散，则（D）若收敛，则收敛D12.1.11、下列结论正确的是收敛，必条件收敛收敛，必绝对收敛条件收敛12.1.12、使级数（A）（B）（C）（D）收敛。C收敛的条件是收敛；收敛；单调且趋近于零；12.1.13、级数与均收敛是（A）必要但非充分条件；（B）充分但非必要条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件解:级数与均收敛(由性质)反之未必,如发散.B收敛的

6、收敛;12.1.14、若,则级数收敛是（A）必要但非充分条件；（B）充分但非必要条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件D收敛的解:这两个级数未必都是正项级数.12.1.15、若收敛，下列级数中收敛的是：（B）（C）（D）解:（A）（B）（C）；（A）D（D）证由级数收敛,得,所以存在,当时,,,由比较审敛法收敛;12.1.17、设级数收敛，又，则级数（A）条件收敛；（B）绝对收敛；（C）发散；（D）可能收敛，也可能发散。D解:这两个级数未必都是正项级数.12.1.18、级数(A)(B)(C)(D)C的收敛域是解:12.3.1、若级数都发散且试问级数解：级数可能收敛也

7、可能发散。又如：发散的收敛性如何？例如：收敛12.3.2、级数解：因为原级数之绝对值级数为，而所以原级数绝对收敛，从而收敛是否收敛，是否绝对收敛？12.3.3、级数解：因为是等比级数，公比由上知原级数收敛。并说明理由。是否收敛？是否绝对收敛？所以原级数绝对收敛。12.3.4、级数解：记由于故原级数绝对收敛，从而收敛是否收敛，是否绝对收敛？；12.3.8、设，试判别级数解：因而所以故原级数发散。的敛散性。12.3.9、判别级数解：记，于是，因此原级数发散的敛散性。12.3.10、判