修正的Helmholtz方程未知源识别的Fourier截断正则化方法-论文.pdf

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1、．爨数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．C／1修正的Helmholtz方程未知源识别的Fourier截断正则化方法杨帆傅初黎李晓晓(兰州理工大学理学院兰州730050；。兰州大学数学与统计学院兰州730000)摘要：探讨半无界区域上二维修正的Helmholtz方程只含有一个空间变量的未知源识别反问题．这类问题是不适定的，即问题的解(如果存在的话)不连续依赖于测量数据．利用Fourier截断正则化方法，得到问题的一个正则近似解，并且给出正则解和精确解之间收敛的误差估计．数值例子表明Fourier截断正则化方法对于这种未知源识别非常有效．关键词：修正的Helmholtz方程

2、；未知源；正则化；Fourier截断．MR(2000)主题分类：35305；35R25；47A52中图分类号：0175．25文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04—1040—081引言数学物理反演问题是一个十分重要的数学分支，在医学成像中CT机的发明和应用，地质勘探中地貌的探测，遥感科学中地表参数的反演，光学信号处理中信号的重构等实际问题都涉及此类反演问题．1J_而数学物理方程非齐次项识别又是数学物理反演问题的一个重要研究课题．把这种通过测量数据识别数学物理方程非齐次项反问题称为未知源识别反问题．对于抛物方程各种不同形式的热源识别，多年来已经有了大量研究成果，如文献f2

3、6]．而对于文献【7]中所提到的修正的Helmholtz方程的未知源识别问题则结果较少．文献[8]利用拟可逆方法识别了半带状区域上的修正的Helmholtz方程的未知源．文献[9]利用简化的Tikhonov正则化方法识别了半无界区域上的修正的Helmholtz方程的未知源．本文利用Fourier截断方法识别修正的Helmholtz方程的未知源，即考虑如下问题一。。

4、修订日期：2014—03—05E—mail：yfggdl15@163．conl基金项目：国家自然科学基金(11171136，11261032)、兰州理工大学优秀青年基金学校基金(Q201015)、甘肃省高校基本科研业务费和甘肃省自然科学基金(1310RJYA021)资助通讯作者No．4杨帆等：修正的Helmholtz方程未知源识别的Fourier截断正则化方法1041其中f(x)是只含有空间变量X的未知源，(，1)=g(X)是附加条件．常数是波数．通过附加条件，利用Fourier截断正则化方法识别未知源．厂()．但是在实际问题中g(x)只能通过测量得到，故用g()，gs(x)分别表示在Y=

5、1处的精确值和测量值，并且满足ll9一g5lL。f)5，(1．2)其中l1．II表示L。(R)空间中的范数，5是测量误差．，●●●●●●●●，、●●-●●【定义函数f(x)的Fourier变换如下∈∈瓜)：去。。e-i~xf((1．3)【lII在(1．1)式中通过对变量X做Fou，rier变换^，得2∈士一I，+在频域空间中求解问题(1．4)得卜羔)，(1．5)再利用Fourier逆变换得卜去等．(1．6)从(1．5)式或者(1．6)式的右边知，当一。。时，}}是二次幂递增的．要使(∈)∈。)，(∈)必须是负二次幂降．但在实际问题中只知道g(x)的测量值()，并且gs(x)仅仅属于。()，

6、一般不会满足幂降条件．因此9()的微小扰动将会引起解的巨大误差．由此看出问题(1．1)是一个不适定问题．作为不适定问题，假设未知源．，(z)存在如下先验界lIf()IH)E，P>0，(1．7)其中E是常数，这里IIf(-)(JH(定义如下(．)：((d∈)(1．8)本文结构安排如下：第二部分介绍Fourier截断正则化方法，并且利用Fourier截断正则化方法给出问题(1．1)的一个正则近似解，给出正则近似解和精确解之间收敛的误差估计；第三部分给出三个不同的例子来验证我们理论的有效性．2Fourier正则化方法和误差估计问题(1．1)的不适定性是由于高频部分的扰动引起的，一个自然的想法就是

7、截掉解f(x)中的高频部分，把这种方法叫做Fourier正则化方法．这种想法最初出现在文献[10]，作者1042数学物理学报、b1．34A利用这个方法处理了逆热传导反问题．现在Fourier正则化方法已经用来处理各种类型的反问题：在文献[1118]中，作者用这种正则化方法分别解决逆热传导中的热流识别问题，Helmholtz方程Cauchy问题，高阶数值微分问题，抛物方程热源识别问题，Laplace方程Cauchy问题，反