椭圆题型二--定点.doc

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1、圆锥曲线定点、定直线、定值专题1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为由已知得a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3∴椭圆的标准方程为。（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0）∴∴∴解得m1=-2k，1616且均满足3+4k2-m2>0当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线

2、过定点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为直线过定点所以，直线l过定点，定点坐标为。2.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为﹒（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒解：(1)，∴所求椭圆E的方程为：。(2)当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+1，，把（2）代入（1）整理得：，（3）∴，假设存在定点M（m，0），使得为定值，=1616，当且仅当5-4m=0，即时，（为定值）．这时。再验证当直线l的倾斜角α=0时的情形，此时取，

3、，，∴存在定点使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l均有（恒为定值）．3.已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。（I）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。4.（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的

4、取值范围.解：（1））∵a2=2，b2=1，∴c=1，F（-1，0），l：x=-2∵圆过点O、F，∴圆心M在直线上设则圆半径由

5、OM

6、=r，得解得1616∴所求圆的方程为。（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），则∴AB的垂直平分线NG的方程为令y=0，得∵k≠0∴∴点G横坐标的取值范围为。5.（本小题满分13分）如图，椭圆的顶点为，焦点为，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于

7、F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，

8、

9、=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。解：（1）由知 ①由知a=2c ②又b2=a2-c2，③由①②③解得a2=4，b2=3故椭圆C的方程为；（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y21616）假设使成立的直线l存在（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，即∵∴即x1x2+y1y2=0将y=kx+m代人椭圆方程，得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2-12）=0由求根公式可得 ④ ⑤将④⑤代人上式并化简得（1+k2）（4m2-12）-8k2m2+m

10、2（3+4k2）=0，⑥将m2=1+k2代入⑥并化简得-5（k2+1）=0，矛盾即此时直线l不存在。（ii）当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1当x=1时，A，B，P的坐标分别为∴∴当x=-1时，同理可得，矛盾即此时直线l也不存在综上可知，使成立的直线l不存在。6.（本题满分15分）已知，直线，1616椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.(I)当直线过右焦点时，求直线的方程；(II)设直线与椭圆交于两点，,的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.解：(Ⅰ)因为直线l：，经过，所以，得m2=2，又因为m＞1，所以，故直线l的方程为。(Ⅱ)设A(x1，y

11、1)，B(x2，y2)，由，消去x得，则由，知，且有，由于F1(-c，0），F2(c，0)，故O为F1F2的中点，由，可知，，设M是CH的中点，则，由题意可知，2

12、MO

13、＜

14、CH

15、，即，即1616，而，所以，即m2＜4，又因为m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2；所以m的取值范围是(1，2)．7.（本小题满分12分）设，分别为椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为。（Ⅰ）求椭圆的焦距；（Ⅱ）如果,求椭圆的方程。解：（1）设焦距为2c，由已