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1、《概率论与数理统计》内容指导一、概率部分．概率论的基本概念及预备知识随机现象，随机试验，样本空间，样本点，随机事件，基本事件{}必然事件，不可能事件，随机变量，随机向量（）排列：从个元素中任取个元素的排列数：组合：从个元素中任取个元素的组合数：．事件间的关系与运算规律相互关系：°事件包含：Ì（指事件发生必导致发生）与相等：＝（指Ì且Ì）°与的和事件：∪（指,中至少有一个发生）与的直和：＋＝∪（与互不相容时）°与的积事件：∩或（指与同时发生），°与的差事件：－＝（指发生而不发生）°与互不相容或互斥：∩＝Æ．°的对立事件：＝－．运算规律：()交换律：∪＝∪,∩＝∩()结合律：∪(∪
2、)＝(∪)∪，∩(∩)＝(∩)∩()分配律：(∪)＝∪．频率的定义与性质事件发生的频率：（为次试验中发生的次数）频率的基本性质：°（非负性）对于任一随机事件，有()≥°（规范性）对于必然事件，有()＝°（有限可加性）若,,…,两两互斥，则．概率的定义与性质概率的公理化定义：称实值函数()为事件的概率，如果()满足下述公理：公理（非负性）对于任一随机事件，有()≥公理（规范性）对于必然事件，有()＝公理（完全可加性）对两两互不相容的事件,,…,有概率的基本性质：°(Æ)＝；≤()≤；°（有限可加性）若,…,两两互斥，则°若Ì,则(－)＝()－()，()≥()．概率计算公式三种典型
3、概率：古典概率计算公式几何概率计算公式条件概率计算公式加法定理：(∪)＝()＋()－()概率乘法定理：()＝()()全概率公式：贝叶斯公式：．等价定理等价定理对事件与，下面四个命题等价()与相互独立；()与相互独立；()与相互独立；()与相互独立．等价定理在时，下面四个命题等价()与相互独立()()()．随机变量的概率分布（分布函数、分布律、分布密度）分布函数：分布律：分布密度：（在()的连续点）常用分布：）．分布（次试验中发生的次数为，））．二项分布（重伯努利试验中发生的次数为，））．泊松分布（时二项分布的逼近分布，））．均匀分布）．指数分布）．正态分布（常用分布的分布律、分
4、布密度、数学期望及方差见《概率统计》附表）．随机向量的概率分布（分布函数、分布律、分布密度）分布函数：联合分布函数：边缘分布函数：()＝{≤}＝(,+¥)()＝{≤}＝(+¥,)分布律：联合分布律：{＝＝}＝,,＝,,… 边缘分布律：条件分布律：分布密度：联合分布密度：（在的连续点）边缘分布密度：条件分布密度：（在()大于的连续点）（在()大于的连续点）．构成分布函数、分布律、分布密度的充要条件()为分布函数()单调不减右连续且(-¥)＝，(+¥)＝(,)为分布函数(,)关于和均单调不减右连续且(∞,)＝(∞)
5、＝(∞∞)＝,(∞∞)＝为分布律为分布律()为分布密度(,)为分布密度．连续型随机变量的性质°连续型随机变量的分布函数必连续，但分布函数连续的随机变量未必是连续型的．°一维（二维）连续型随机变量在任意一点（任意曲线上）取值的概率必为零．°{＜＜}＝{≤＜}＝{＜≤}＝{≤≤}＝()－()＝°对平面区域,有．随机变量相互独立的等价定理随机变量相互独立的等价定理对于随机向量(,),下面五个命题等价()与相互独立；()所有可能的条件分布律与相应的边缘分布律一致或所有可能的条件分布密度与相应的边缘分布密度几乎处处相等．（几乎处处相等）（几乎处处相等）()或()对于任意二实数集,，有{Î
6、Î}{Î}{Î}()对于任意二实数,,有(,)()()．随机变量函数的重要结论）＝()的分布函数()＝{≤}＝{()≤}）＝()的分布函数()＝{≤}＝{()≤}）＝＋的分布密度（当与相互独立时））当,,…相互独立时，(,,…)和(,,…)的分布函数．有关正态分布的重要结论若（正态分布），则（标准正态分布）()与()的分布密度分别为：，()的分布函数与()的分布函数满足，()＝－()以,,,,为参数的二维正态随机变量的密度函数为其中的随机变量与相互独立的充要条件是＝．．随机变量的数字特征数学期望的性质与计算：°°°°若,,…是随机变量，是常数，则°若,,…是相互独立的随机变量，
7、则方差的性质与计算：°＝()＝(－)＝－(),()＝,()＝°(＋)＝＋＋()＝＋（,是相互独立）°＝的充要条件是以概率取常数＝．协方差的性质与计算：°()＝(,)＝[(－)(－)]＝()－()()°()＝，()＝(,)°(＋,)＝()＋()．相关系数与矩：相关系数（当＝时称与不相关），阶原点矩：，＋阶混合原点矩：()，阶中心矩：(－)，＋阶混合中心矩：[(－)(－)]．大数定律与中心极限定理切比雪夫不等式设具有数学期望与方差，则对于任意的正数,有{－≥}≤或{－＜}≥－辛钦大数定律设,…相
