概率论与数理统计总结.doc

《概率论与数理统计总结.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、.第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω表示基本结果，又称为样本点。3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示，Ω表示必然事件，∅表示不可能事件。4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系：如果属于A的样本点

2、必属于事件B，即事件A发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B;（2）相等关系：若A⊂B且B⊃ A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。（3）互不相容：如果A∩B=∅，即A与B不能同时发生，则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为A∪B。（2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生，记为A∩B或AB。（3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为A－B。用交并补可以表示为。（4）对立事件：事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”，记为。对立事件的性质：。8、事件运算性质：设A，B，C为

3、事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)、A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2)若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3）若An∈ξ，n=1,2，···，则可列并ξ 。Word资料.10、两个常用的事件域：（1）离散样本空间（有限集或可列

4、集）内的一切子集组成的事件域；（2）连续样本空间（如R、R2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域。第一节概率的定义及其确定方法1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P（A）满足：（1）非负性公理：若A∈ξ，则P(A)≥0；（2）正则性公理：P(Ω)＝1（3）可列可加性公理：若A,，A2，···，A3互不相容，则有，即，则称P（A）为时间A的概率，称三元素（Ω，ξ，P）为概率空间2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）它的基本思想是：（1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进

5、行；（2）在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，称fn(A)=，为事件A出现的频率；（3）频率的稳定值就是概率；（4）当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值。3、确定概率的古典方法：它的基本思想是：（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个；（2）每个样本点发生的可能性相等（等可能性）；（3）若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为P（A）=。4、确定概率的几何方法：它的基本思想是：（1）如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可用Sn表示；（2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；（3）

6、若事件A为中某个子区域，且其度量为SA,则事件A的概率为P（A）=.5、确定概率的主观方法：一个事件A的概率P（A）使人们根据经验，对该事件发生的可能性大小所做出的个人信念。Word资料.6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。第三节概率的性质：1、P(Φ)＝02、有限可加性：若有限个事件A,，A2，···，A3互不相容，则有，3、对立事件的概率：对任一事件A，有4、减法公式（特定场合）：若AB,则P(A－B)＝P(A)－P(B)5、单调性

7、：若AB，则P（A）P（B）6、减法公式（一般场合）：对任意两个事件A、B，有P(A－B)＝P(A)－P(AB)7、加法公式：对任意两个事件A、B，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。对任意n个事件A1，A2，···，An，有8、半可加性：对任意两个事件A、B，有.9、事件序列的极限：（1）对ξ 中任一单调不减的事件序列，称为可列并为极限{Fn}的极限事件，记为。（2）对ξ 中任一单调不增的事件序列，称为可列交为极限{En}的极限事件，记为。若,则称概率P是上连续的10、概率的连续性：若P为事件域ξ 上的概率，则P既是上连续的，又是下连续

8、的11、若P是ξ上满足P（Ω）=1的非负集合函数，则P是可列可加性的充要条件是P具有有限可加性和下连续性。第