概率论与数理统计总结

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1、概率论与数理统计总结第一章：概率论的基本概念一、相关概念1、确定性现象：在一定条件下必然发生的一类现象。2、统计规律性：在大量重复实验或观察中所呈现出的固有规律性。3、随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性，在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。4、随机试验：可以在相同条件下重复地进行，每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果，进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。通常用E表示。5、样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。6、样本点：样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，通常用e或w表示。7

2、、随机事件：试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，即一次试验中可能发生也可能不发生的事件，简称事件，通常用ABC表示。当且仅当这一子集的一个样本点出现时，称这一事件发生。特别：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。8、必然事件：在试验中必然出现的事件，记为S或Ω。不可能事件：在试验中不可能出现的事件，记为Ф。二、事件间的关系和运算1、若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为BÉA或AÌB。若AÌB且AÉB则称事件A与事件B相等，记为A＝B。2、“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为:A∪

3、B={e

4、e∈A，或e∈B}推广：事件的和可推行至有任意有限和可列个事件的和的情况。3、称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e

5、e∈A且e∈B}。推广：事件的积可推行至任意有限积和可列个事件的积的情况。IIIILnnkkAAAA211=4、称“事件A发生而事件B不发生”,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为A-B={e

6、e∈A，eÏB}。当且仅当A发生但B不发生时事件A-B发生。显然有A-B=A-A∩B。5、如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件

7、。基本事件是两两不相容的。推广对有限个事件或可列个事件A1，A2，…，An…，如果对任意i¹j,AiAj＝Φ,则称A1，A2，…，An或A1，A2，…，An…两两互不相容。6、称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā。A与Ā满足：A∪Ā=S,且AĀ=Φ。一般地，若A，B满足：A∪B=S，AB＝Φ称为A与B互为对立事件，若A，B互为对立事件，那么在每次试验中，事件A，B必有一个发生且仅有一个发生。7、事件运算常用定律(4)反演律(德摩根律)：(5)吸收律：三、频率和概率1、频率：在相同的条件下，进行了n次重复试验，记nA是A发生的次数(又称为频数)；则定义随机事

8、件A发生的频率为fn(A)=na/n。频率具有随机波动性，即对于同一个随机事件来说，在相同的试验次数下，得到的频率也不一定会相同。频率还具有稳定性，它总是在某一个具体数值附近波动，而随着试验次数的不断增加，频率的波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。频率的性质：(1)非负有界0≤fn(A)≤1;(2)规范性fn(S)=1;(3)有限可加如果A1，A2，···，Am两两互不相容，则有：fn(A1＋A2＋···＋Am)=fn(A1)＋fn(A2)＋···＋fn(Am)2、概率：概率的频率定义：自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值去描述它在一次试验中发生的可能性大

9、小，即用频率的极限来作为概率的定义。概率的数学定义：S是随机试验E的样本空间，如果对于每一个随机事件A定义一个实数P(A)，满足：(1)非负性对任意的随机事件A，有P(A)≥0；(2)规范性对必然事件S，有P(S)=1；(3)可列可加对于任意一列两两不相容的随机事件A1，A2，···，则有P(A1＋A2＋···)=P(A1)＋P(A2)＋···则这个集合函数P(A)就称为随机事件A的概率。概率的性质及公式：(1)不可能事件的概率为零：P(f)=0；(2)有限可加性：对于任意有限个两两不相容的随机事件A1，···，Am，则有：P(A1＋···＋Am)=P(A1)＋

10、···＋P(Am)；(3)概率具有单调性：如果AÌB，则P(A)≤P(B)；(4)随机事件的概率不超过1：P(A)≤1。(5)对立事件的概率，(6)减法公式，P(B–A)=P(B)–P(AB)。特别的当AÌB，则P(B–A)=P(B)–P(A)(7)加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)。推论：P(A∪B)≤P(A)+P(B)加法公式推广：四、常见的两种概率类型古典概型1、定义：如果一个随机试验E满足：(1)试验的样本空间S只包含有限个样本点，(2)每一个样本点发生的可能性相同。这种随机试验就称为等可能概型，或古典概型。古典概型问题中，样本空间的

11、构造必保证其中的每个样本