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1、课题：二项式定理一、知识要点1.二项式定理一般地,对于任意整数,都有,这个公式叫做二项式定理.【注意】⑴等号右边的多项式叫做的二项展开式;⑵叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而项的系数与的系数有关,正负不能确定.⑶公式右边共有项,比二项式的次数大1.⑷各项的次数都等于二项式的幂指数;字母按降幂排列,次数由递减到0,字母按升幂排列,次数由0递增到.⑸二项式定理表示一个恒等式,对于任意的,该等式都成立.通过对取不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便.令,则得到一个比较常用的公式:；若令,则
2、得到一个组合数恒等式:；2.二项展开式的通项二项展开式的第项叫做二项展开式的通项.【注意】⑴它表示二项式展开的第项,该项的二项式系数是,而不是;⑵字母的次数和组合数的上标相同;⑶与的次数之和为;⑷是常量,是变量;⑸公式中第一个量与第二个量的位置不能颠倒;⑹整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;⑺它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用.3.二项式系数的性质一般地,展开式的二项式系数有以下性质⑴;⑵;⑶当时,;当,,即当为偶数时,二项式系
3、数中,最大;当为奇数时,二项式系数中,和（两者相等）最大.⑷；第4页共4页⑸,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和,二、金典题型题型一:通项公式的应用求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.【☞例1】已知在的展开式中,第6项为常数项.⑴求;⑵求含的项的系数;⑶求展开式中所
4、有的有理项.点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件（,均为非负整数,））;第二,根据所求的指数,再求所求解的项.【☞例2】若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（）A.10B.20C.30D.120题型二:系数最大值问题在求展开式中系数最大项时,可设第项的系数为最大,则利用,解不等式组即可得出.【☞例3】已知展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.⑴求展开式中二项式系数最大项;⑵求展开式中系数最大项.点评:应注意区分
5、项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋值法,求项的系数时,用来求,而二项式系数能直接写出.【变式训练】1.的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.第4页共4页题型三:赋值法的应用对形如、的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法,只需令即可;对的式子求其展开式各项系数之和,只需令即可.【☞例4】已知.⑴求;⑵;⑶;⑷.【变式训练】2.对于的展开式,求⑴求各项系数之和;⑵奇数项系数之和;⑶偶数项系数之和.三、基础落实1.二项式展开式中,的系数为（）A.5B.10C.2
6、0D.402.如果的展开式中含有非零常数项,则正整数可能是（）A.6B.8C.9D.103.已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（）A.15B.-15C.20D.-204.若展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为（）A.-540B.-162C.162D.5405.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（）A.-7B.7C.-28D.286.在的二项展开式中,若常数项为60,则等于（）A.3B.6C.9D127.的展开式中的系数为15.则的值为.第4页共4页8.若,则的
7、展开式中的常数项是.（用数字作答）9.已知的展开式中,的系数为,则常数的值为.10.展开式中,所有项的系数之和为;展开式中的系数为.四、课堂小结与作业1.“各项的二项式系数”是指,而“某项的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为1时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等的.2.二项式系数之和为;各项系数之和是每项的所有系数之和.3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一.4.注意表示的是二项式展开式中的第项,而非第项,此式为二次展开式的通项.【作业】见复印件第4页共
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