二项式定理专题复习.doc

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1、二项式定理知识点、题型与方法归纳一．知识梳理1．二项式定理：．其中叫二项式系数．式中的叫二项展开式的通项，用表示，即通项.2．二项展开式形式上的特点:(1)项数为n＋1；(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3．二项式系数的性质：(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐

2、渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项取得最大值．(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．两种

3、应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．题型示例【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)BA.6B.7C.8D.9例2：的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)70【题型二】求展开特定项例1：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－

4、x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)DA．74B．121C．－74D．－121【题型三】求展开特定项例1：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)DA.－4B.－3C.－2D.－1例2：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)CA．45B．60C．120D．210例3：若数列是等差数列,且,则在的展开式中,的系数为___.【题型四】求展开特定项例1：求(x>0)的展开式经整理后的

5、常数项.解：在x＞0时可化为，因而Tr＋1＝C，则r＝5时为常数项，即C·＝.例2：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（　　）．DA．11　　　B．33　　　C．55　　　D．66解：展开后，每一项都形如，其中，该方程非负整数解的对数为。例3：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)A．10B．20C．30D．60解析　易知Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，由Tt＋1＝C(x2)3－txt＝Cx6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为C

6、C＝30.【题型五】二项式展开逆向问题例1：()若C＋3C＋32C＋…＋3n－2C＋3n－1＝85，则n的值为(　　)A.3B.4C.5D.6解：由C＋3C＋…＋3n－2C＋3n－1＝[(1＋3)n－1]＝85，解得n＝4.故选B.【题型六】赋值法求系数（和）问题例1：已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)＋＋＋…＋.解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－

7、a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.③(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.④(4)∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴＋＋＋…＋＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，∴所求即为④－③(亦即②)，其值为2187.点拨：①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(a

8、x＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系