专题4.二项式定理.doc

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1、§10.3　二项式定理(教师版)1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)．这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－rbr叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，通项是展开式的第r＋1项，即Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)．2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字

2、母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当r<时，二项式系数是递增的；当r>时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，那么其展开式中间一项T的二项式系数最大．当n是奇数时，那么其展开式中间两项T和T的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C

3、＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Can－rbr是二项展开式的第r项．(　×　)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(　×　)2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)A．80B．40C．20D．10

4、答案　B解析　Tr＋1＝Can－rbr＝C15－r(2x)r＝C×2r×xr，令r＝2，则可得含x2项的系数为C×22＝40.3．在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)A．－7B．7C．－28D．28答案　B解析　由题意有n＝8，Tr＋1＝C()8－r(－1)rx，r＝6时为常数项，常数项为7.4．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)A．63B．64C．31D．32答案　A解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)

5、n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.故选A.5．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.答案　0解析　a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C，所以a10＋a11＝C－C＝0.题型一　求二项展开式的指定项或指定项系数例1　已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．思维启迪　先根据第6项为常数项利用通项公式求出n，然后再

6、求指定项．解　(1)通项公式为Tr＋1＝Cxrx＝Crx.因为第6项为常数项，所以r＝5时，＝0，即n＝10.(2)令＝2，得r＝2，故含x2的项的系数是C2＝.(3)根据通项公式，由题意得，令＝m(m∈Z)，则10－2r＝3m，r＝5－m，∵r∈N，∴m应为偶数．∴m可取2,0，－2，即r可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x－2.思维升华　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出

7、项数r＋1，代回通项公式即可．　(1)(2013·江西)5展开式中的常数项为(　　)A．80B．－80C．40D．－40(2)(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)A．－40B．－20C．20D．40答案　(1)C　(2)D解析　(1)Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C(－2)rx10－5r，令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C(－2)2＝40.(2)令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.因此(x＋)(2x－)5展开式中的常数项即为(2x－)5展开式中的系数与x

8、的系数的和．(2x－)5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·(－1)r·x－r＝C25－rx5－2r·(－1)r.令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，因此(2x－)5展开式中x的系数为C25－2(－1)2＝80.令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，因此(2x－)5展开式中的系数