高中数学高考《二项式定理》专题复习导学讲义.doc

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1、.第3讲 二项式定理知识梳理1.二项式定理二项式定理(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tr+1=Can-rbr,它表示第r+1项二项式系数二项展开式中各项的系数C,C,…,C2.二项式系数的性质(1)0≤k≤n时,C与C的关系是C=C.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为Cn;当n为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为Cn或Cn.(3)各二项式系数和:C+C+C+…+C=2n,C+C+C+…=C+C+

2、C+…=2n-1.辨析感悟1.二项式定理的理解(1)Can-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项.(×)(2)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项.(×)(3)(教材习题改编)在6的二项展开式中,常数项为-160.(√)2.二项式系数的性质(4)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(√)(5)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.(×)(6)(2013·安徽卷改编)若n的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,且x4的系数为7,

3、则实数a=.(√)[感悟·提升]..1.二项式定理(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律,一定牢记通项公式Tr+1=Can-rbr是展开式的第r+1项,不是第r项,如(1).2.二项式系数与展开式项的系数的异同一是在Tr+1=Can-rbr中,C是该项的二项式系数,与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指C,而后者是字母外的部分,前者只与n和r有关,恒为正,后者还与a,b有关,可正可负,如(2)就是混淆两个概念的区别.二是二项式系数的最值与增减性与指

4、数n的奇偶性有关,当n为偶数,中间一项的二项式系数最大,如(6);当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值.考点一 通项公式及其应用【例1】(1)(2013·浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A,则A=________.(2)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a等于________.解析 (1)Tr+1=C()5-rr=C(-1)rx-,令-r=0,得r=3,∴A=-C=-10.(2)(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5,又

5、(1+x)5中含有x与x2的项为T2=Cx,T3=Cx2.∴展开式中x2的系数为C+a·C=5,∴a=-1.答案 (1)-10 (2)-1规律方法(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.【训练1】..(1)(

6、2013·大纲全国卷改编)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是________.(2)设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是________.解析 (1)∵(1+x)8的通项为Cxk,(1+y)4的通项为Cyt,∴(1+x)8(1+y)4的通项为CCxkyt,令k=2,t=2,得x2y2的系数为CC=168.(2)6展开式的通项Tr+1=(-a)rCx6-r,∴A=(-a)2C,B=(-a)4C,由B=4A,得(-a)4C=4(-a)2C,解之得a=±2.又a

7、>0,所以a=2.答案 (1)168 (2)2学生用书第161页考点二 二项式系数的性质与各项系数和【例2】(1)(2014·青岛模拟)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是________.(2)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为________.审题路线 (1)先赋值求a0及各项系数和,进而求得n值,再运用二项式系数性质与通项公式求解.(2)根据二项式系数性质,由C=C,确定n的值,求出的系数.解析 (1)∵

8、(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令x=0,得a0=1.令x=1,则(1+1)n=a0+a1+a2+…+an=64,∴n=6,又(1+x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大,∴(1+x)6的展开式系数最大项为T4=Cx3=20x3.(2)由题意知,C=C,∴n=8.∴Tr+1=C·x8-r·r=C·x8-2r,..当8-2r=-2时,r=

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