高中数学高考《二项式定理》专题复习导学讲义.doc

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1、.第3讲　二项式定理知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C，C，…，C2.二项式系数的性质(1)0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋

2、C＋…＝2n－1.辨析感悟1．二项式定理的理解(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(×)(2)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．(×)(3)(教材习题改编)在6的二项展开式中，常数项为－160.(√)2．二项式系数的性质(4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×)(6)(2013·安徽卷改编)若n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x4的系数为7，

3、则实数a＝.(√)[感悟·提升]..1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项，如(1)．2．二项式系数与展开式项的系数的异同一是在Tr＋1＝Can－rbr中，C是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负，如(2)就是混淆两个概念的区别．二是二项式系数的最值与增减性与指

4、数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大，如(6)；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.考点一　通项公式及其应用【例1】(1)(2013·浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.(2)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于________．解析　(1)Tr＋1＝C()5－rr＝C(－1)rx－，令－r＝0，得r＝3，∴A＝－C＝－10.(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5，又

5、(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝Cx，T3＝Cx2.∴展开式中x2的系数为C＋a·C＝5，∴a＝－1.答案　(1)－10　(2)－1规律方法(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．【训练1】..(1)(

6、2013·大纲全国卷改编)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．(2)设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．解析　(1)∵(1＋x)8的通项为Cxk，(1＋y)4的通项为Cyt，∴(1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxkyt，令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.(2)6展开式的通项Tr＋1＝(－a)rCx6－r，∴A＝(－a)2C，B＝(－a)4C，由B＝4A，得(－a)4C＝4(－a)2C，解之得a＝±2.又a

7、>0，所以a＝2.答案　(1)168　(2)2学生用书第161页考点二　二项式系数的性质与各项系数和【例2】(1)(2014·青岛模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是________．(2)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．审题路线　(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．(2)根据二项式系数性质，由C＝C，确定n的值，求出的系数．解析　(1)∵

8、(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝0，得a0＝1.令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x)6的展开式系数最大项为T4＝Cx3＝20x3.(2)由题意知，C＝C，∴n＝8.∴Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·x8－2r，..当8－2r＝－2时，r＝