2011高考数学课下练兵 立体几何中的向量方法 [理].doc

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1、第七章第七节立体几何中的向量方法[理]课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)利用空间向量证明平行、垂直问题111利用空间向量求异面直线所成角、线面角.2、34、6、78利用空间向量求二面角510、129一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6

2、，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.答案：D2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角余弦值为，则λ等于(　　)A．2　　　　　　　B．－2C．－2或D．2或－解析：cos〈a，b〉＝＝＝，λ＝－2或.答案：C3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是(　　)A.B.C.D.解析：(特殊位置法)将P点取为A1，作OE⊥AD于E，连接A1E，则A1E为OA1在平面AD1-9-用心爱心专心内的射影，又AM⊥A1E，∴AM⊥OA1

3、，即AM与OP成90°角．或建系利用向量法．答案：D4．(2009·全国卷Ⅱ)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析：如图连结A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=.由余弦定理可知：cos∠A1BE=答案：C5．(2009·滨州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析：以A为原点

4、建系，设棱长为1.则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝(1,0，－)，设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)则∴∴n1＝(1,2,2)，∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．∴cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.答案：B6．(2009·浙江高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　)-9-用心爱心专心A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，

5、依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝，DE＝，tan∠ADE＝＝＝，∴∠ADE＝60°.答案：C二、填空题7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，cos〈〉＝＝.答案：8．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且S

6、O＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是__________．解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，-9-用心爱心专心C(-a,0,0)，P(0，)，则＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝，∴〈，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.答案：30°9．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_______

7、_．解析：设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得＝，设侧面与底面所成二面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°.答案：60°三、解答题10．(2009·包头模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．(1)求证：PB∥平面EAC；(2)若AD＝AB，试求二面角A－PC－D的正切值．解：法一：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，在△PDB中，OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，故PB∥平面AEC.-9-用心爱心专心(2)设AD=AB=P

8、D=PA=a，∵侧面PA