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《2011高考数学课下练兵 立体几何中的向量方法 [理].doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七章第七节立体几何中的向量方法[理]课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)利用空间向量证明平行、垂直问题111利用空间向量求异面直线所成角、线面角.2、34、6、78利用空间向量求二面角510、129一、选择题1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是( )A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析:若l∥α,则a·n=0.而A中a·n=-2,B中a·n=1+5=6
2、,C中a·n=-1,只有D选项中a·n=-3+3=0.答案:D2.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角余弦值为,则λ等于( )A.2 B.-2C.-2或D.2或-解析:cos〈a,b〉===,λ=-2或.答案:C3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是( )A.B.C.D.解析:(特殊位置法)将P点取为A1,作OE⊥AD于E,连接A1E,则A1E为OA1在平面AD1-9-用心爱心专心内的射影,又AM⊥A1E,∴AM⊥OA1
3、,即AM与OP成90°角.或建系利用向量法.答案:D4.(2009·全国卷Ⅱ)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.解析:如图连结A1B,则有A1B∥CD1,∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角,设AB=1,则A1E=AE=1,∴BE=,A1B=.由余弦定理可知:cos∠A1BE=答案:C5.(2009·滨州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )A.B.C.D.解析:以A为原点
4、建系,设棱长为1.则A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0),∴=(0,1,-1),=(1,0,-),设平面A1ED的法向量为n1=(1,y,z)则∴∴n1=(1,2,2),∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1).∴cos〈n1,n2〉==.即所成的锐二面角的余弦值为.答案:B6.(2009·浙江高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )-9-用心爱心专心A.30°B.45°C.60°D.90°解析:如图,取BC中点E,连结DE、AE、AD,
5、依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为1,则AE=,DE=,tan∠ADE===,∴∠ADE=60°.答案:C二、填空题7.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________.解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),=(-1,0,2),=(-1,2,1),cos〈〉==.答案:8.正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且S
6、O=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是__________.解析:如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),-9-用心爱心专心C(-a,0,0),P(0,),则=(2a,0,0),=(-a,-,),=(a,a,0),设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos〈,n〉===,∴〈,n〉=60°,∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.答案:30°9.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_______
7、_.解析:设一个侧面面积为S1,底面面积为S,则这个侧面在底面上射影的面积为,由题设得=,设侧面与底面所成二面角为θ,则cosθ===,∴θ=60°.答案:60°三、解答题10.(2009·包头模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点.(1)求证:PB∥平面EAC;(2)若AD=AB,试求二面角A-PC-D的正切值.解:法一:(1)证明:连接BD交AC于点O,连接OE,在△PDB中,OE∥PB,又OE⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,故PB∥平面AEC.-9-用心爱心专心(2)设AD=AB=P
8、D=PA=a,∵侧面PA