2011高考数学课下练兵 数学归纳法[理].doc

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1、第六章第七节数学归纳法[理]课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)证明等式问题15证明不等式2、311归纳、猜想与证明76、1012整除与几何问题4、8、9一、选择题1．用数学归纳法证明等式(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1左端需增乘的代数式为(　　)A．2k＋1　　　　B．2(2k＋1)C.D.解析：当n＝1时，显然成立．当n＝k时，左边＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k)(

2、k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)·2(2k＋1)．答案：B2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案：C3．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学的证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立

3、．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝-7-用心爱心专心＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法(　　)A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设．答案：D4．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　)A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)解析：(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3

4、(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．答案：D5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为(　　)A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c解析：∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即：，整理得，解得a＝，b＝c＝.答案：A6．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，

5、a4，猜想an的表达式(　　)A.B.C.D.-7-用心爱心专心解析：由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2，∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3，即＋＋a3＝15a3.∴a3＝＝，a4＝.答案：C二、填空题7．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n个式子为__________________________________．答案：1－4＋9－…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)．8．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2

6、,3，…)，则第n－2(n≥3，n∈N*)个图形中共有________个顶点．解析：当n=1时，顶点共有12=3×4(个)，n=2时，顶点共有20=4×5(个)，n=3时，顶点共有30=5×6(个)，n=4时，顶点共有42=6×7(个)，故第n个图形共有顶点(n+2)(n+3)个，∴第n-2个图形共有顶点n(n+1)个．答案：n(n+1)9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)

7、．解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，-7-用心爱心专心f(5)－f(4)＝4，…f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n－2)．∴f(n)＝(n＋1)(n－2)．答案：5　(n＋1)(n－2)三、解答题10．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学

8、归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．解：(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.∴b2＝＝.a2＝a1·b2＝.∴点P2的坐标为(，)∴直线l