抽象函数题型汇编.doc

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1、.抽象函数常见题型汇编抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域．解法：若的定义域为，则中，从中解得x的取值范围即为的定义域．例1设函数的定义域为，则(1)函数的定义域为；(2)函数的定义域为．解析：(1)由已知有，解得，故的定义域为；(2)由已知，得，解得，故的定义域为．(二)已知的定义域，求的定义域．解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域．例2函数的定义域为，则的定义域为．解析：由，得，所以，

2、故填(三)已知的定义域，求的定义域．解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域．例3函数定义域是，则的定义域是　　　　　　．解析：先求的定义域，∵的定义域是，∴∴，即的定义域是再求的定义域，∵，∴∴的定义域是．(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4函数的定义域是，求的定义域．解析：∵由已知，有即∴函数的定义域由确定∵∴∴函数的定义域是．【巩固1】已知函数的定义域是，求的定义域．解析：的定义域是，是指，所以中的满足从而函数的定义域是．Word资料.【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域．解析：的定义域是

3、，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】定义域为，则定义域是．解析：因为及均相当于中的x，所以(1)当时，则；(2)当时，则．二、解析式问题1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力．例5已知，求．解析：设，则∴∴．2.凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求．此解法简洁，还能进一步复习代换法．例6已知，求解析：∵又∵，∴，3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数．例7已知二次实函数，且+2+4，求．解析：设=，则

4、比较系数得∴4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式．例8已知为奇函数，当时，，求．解析：∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求时的表达式．∵，∴，∵为奇函数，∴∴当时∴Word资料.例9为偶函数，为奇函数，且有，求，．解析：∵为偶函数，为奇函数，∴，，不妨用代换………①中的x，∴即……②显见①+②即可消去，求出函数再代入①求出5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式例10设的定义域为自然数集，且满足条件，及，求解析：∵的定义域为N，取，则有∵，∴，……以上各式相加，有，∴【巩固4】设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数（）A．B．C．D．

5、解析：要求的解析式，实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系．点关于直线的对称点适合，即．又，，即，选B．【巩固5】设对满足的所有实数x，函数满足，求的解析式．解析：在（1）中以代换其中x，得：(2)再在(1)中以代换x，得(3)(1)(2)(3)化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键．通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略．三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值．其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化．或

6、紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解．例11已知定义域为的函数，同时满足下列条件：①；②Word资料.，求的值．解析：取，得因为，所以又取，得例12定义在R上的函数满足：且，求的值．解析：由，以代入，有，∴为奇函数且有，又由，∴是周期为8的周期函数，∴【巩固6】已知的定义域为，且对一切正实数都成立，若，则_______．解析：在条件中，令，得，∴又令，得，∴【巩固7】已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值．解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是，所以，故是以8为周期的周期函数，从而四、值

7、域问题例13设函数定义于实数集上，对于任意实数，总成立，且存在，使得，求函数的值域．解析：令，得，即有或．若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有．由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段．Word资料.【巩固8】已知函数对任意实数有，且当时，，，求在上的值域．