培优函数与导数解答带答案.doc

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1、函数与导数解答1．已知向量，，且是方程的两个实根．（1）求实数的取值范围；（2）设，求的最小值．2．已知函数．（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．3．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，，求实数的取值范围．4．已知曲线在点处的切线的斜率为1．（1）若函数f（x）的图象在上为减函数，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．5．已知为实数，函数．（1）是否存在实数，使得在处取得极值？证明你的结论；（2）设，若，使得成立，求实数的取值范围．6．设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）设对

2、任意，总有成立，求实数a的取值范围；（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．7．已知函数．（Ⅰ）若在处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．8．已知函数,其中为常数,且．（Ⅰ）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）若函数在区间[1，2]上的最小值的表达式．9．已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数单调区间10．已知函数．（Ⅰ）若函数在单调递增，求取值范围；（Ⅱ）若函数的最小值为0，且当时，，求的最小值．11．已知函数．（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）是否存在实数，对任意的且有恒成

3、立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．12．已知函数．（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ）若存在，使得成立，求的取值范围．13．已知函数（其中），函数在点处的切线过点．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数与函数的图像在有且只有一个交点，求实数的取值范围．14．已知函数f（x）＝x＋alnx在x＝1处的切线l与直线x＋2y＝0垂直，函数g（x）＝f（x）＋－bx．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）－g（x2）的最小值．参考答案1．（1）；（2）15．【解析】试题分析：（1）先利用平

4、面向量的数量积公式得到函数的解析式，再利用方程的判别式非负进行求解；（2）先利用二次方程的根与系数的关系得到关于的关系，得到函数的表达式，再利用导数求其最值．试题解析：（1）由题意知:=是方程的两个实根，（2））由题意知=，故，令解得，a-1（-1，0）0（0，2）2（2，3）3g’（a）+-+g（a）15单调递增极大值27单调递减极小值15单调递增27而的最小值为15．考点：1．平面向量的数量积；2．二次方程的判别式；3．利用导数研究函数的最值．【方法点睛】本题考查二次方程的判别式、利用导数研究函数的单调性，属于中档题；利用导数求函数在闭区间上的最值时，一般先求导，研究当自变量

5、变换时，导函数的符号、函数的单调性的变化情况，确定函数在该区间上的极值点与极值，再将极值与区间端点函数值进行比较，进而确定其最值．2．（Ⅰ）；（Ⅱ）①当时的单调递增区间是，单调递减区间是②当时的单调递增区间是和，单调递减区间是．③当时故的单调递增区间是．④当时的单调递增区间是和，单调递减区间是．（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导，由导数的几何意义可知，从而可求得的值．（Ⅱ）求导并将其化简．讨论的正负和0时的情况．当为正时还要进一步讨论导数等于0根是否在定义域内．当导数大于0时得增区间，导数小于0时得减区间．（Ⅲ）可将问题转化为在上有．由（Ⅱ）可求得．结合二次函数图像可知．解不等

6、式可得的范围．试题解析：解：．（Ⅰ），解得．（Ⅱ）．①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是．②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．③当时，，故的单调递增区间是．④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．（Ⅲ）由已知，在上有．由已知，，由（Ⅱ）可知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故．②当时，在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，，，所以，，，综上所述，．考点：1导数的几何意义；2用导数研究函数的性质．3．（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）函数

7、在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为（或）恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到．（3）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式．试题解析：（Ⅰ）由于，∴．当，即时，；当，即时，．∴的单