北师大版2019年高中数学选修2-2习题：第4章 2 微积分基本定理 活页作业16_含解析.doc

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1、活页作业(十六)　微积分基本定理1．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　)A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－C．有最小值－，无最大值D．既无最大值也无最小值解析：F(x)＝(t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)．则F′(x)＝x2－4x，令F′(x)＝0，得x＝0或4.列表如下：x(－1,0)0(0,4)4(4,5)F′(x)＋0－0＋F(x)极大值极小值因此极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.又F(－1)＝－，F(5)＝－，所以最大值为0，最小值为－.答案：B2．下列式子正确的是(　　)A．f

2、(x)dx＝f(b)－f(a)B．f′(x)dx＝f(b)－f(a)C．f(x)dx＝f(x)D．[f(x)dx]′＝f(x)解析：f′(x)dx＝f(x)＝f(b)－f(a)．答案：B3．设f(x)＝则f(x)dx＝(　　)A．　B．　C．　D．解析：f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝.答案：C4．已知自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t从1到2时，物体下落的距离为(　　)A．gB．gC．gD．2g解析：物体下落的距离s＝gtdt＝gt2＝g(22－12)＝g.答案：C5．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝

3、2x＋1，则f(－x)dx的值是(　　)A．B．C．D．解析：∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x.∴f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝.答案：A6．若x2dx＝9，则a＝________.解析：∵x2dx＝x3＝a3＝9，∴a＝3.答案：37．m＝exdx与n＝dx的大小关系是m________n(填“>”“<”或“＝”)．解析：∵m＝exdx＝ex＝e－1，n＝dx＝lnx＝1，∴m>n.答案：>8．定积分(

4、x

5、－1)dx的值为________．解析：(

6、x

7、－1)dx＝(－x－1)dx＋(x－1)dx＝＋＝－1.答案：－19．求

8、

9、x＋3

10、dx的值．解：∵

11、x＋3

12、＝∴

13、x＋3

14、dx＝(－x－3)dx＋(x＋3)dx＝＋＝5.10．如下图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．解：S1等于边长分别为t与t2的矩形面积减去曲线y＝x2与x轴和直线x＝t围成的图形的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3；S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t及x＝1围成的图形的面积减去一个矩形的面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.∴阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)

15、．令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.易知当t＝时，S最小．∴最小值为S＝.11．如下图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为(　　)A．

16、x2－1

17、dxB．(x2－1)dxC．(x2－1)dxD．(x2－1)dx＋(1－x2)dx解析：由曲线y＝

18、x2－1

19、的对称性，所求阴影部分的面积与下图中阴影部分的面积相等，为

20、x2－1

21、dx，故选A．答案：A12．计算：dx＋dx＝________.解析：dx＝lnx＝1－0＝1.而dx表示的是圆x2＋y2＝4在x轴上方部分的面积，故dx＝π×22＝2π.故

22、答案为2π＋1.答案：2π＋113．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.解析：显然f(1)＝lg1＝0，则f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝a3＝1，得a＝1.答案：114．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝________.解析：∵f(x)dx＝x2dx＋[2f(x)dx]dx＝x3＋[2f(x)dx]x＝＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝－.答案：－15．已知(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6，且f(t)＝(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b.解：∵g(x)＝x3＋ax为奇函数，∴(x3＋ax

23、)dx＝0，∴(x3＋ax＋3a－b)dx＝(x3＋ax)dx＋(3a－b)dx＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b.∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3.①又f(t)＝＝＋＋(3a－b)t为偶函数，∴3a－b＝0.②由①②得16.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如右图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图像所围成的区域(阴影部分)的面积为，求a的值．解：∵函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像与x轴在原点处相切，∴函数的导数f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，且f′(0)＝b＝0.∴f(x

24、)＝－x2(x－a)．∴(x3－ax2)dx＝＝0－＋＝＝.∴a＝±1.函数f(x)与x轴的交点横坐标一个为0，另一个为a，根据图形可知