高中数学选修2-2微积分基本定理

《高中数学选修2-2微积分基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、[学习目标]　1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一　导数与定积分的关系f(x)dx等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)＝f(x))在积分区间[a，b]上的改变量F(b)－F(a).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v＝v(t)，那么在时间区间[a，b]内物体的位移s可以用定积分表示为s＝v(t)dt.另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s＝s(t)，那么在时间区间[a，b]内物体的位移为s(b)－s(a)，所以有v(t)dt＝s(b)

2、－s(a).由于s′(t)＝v(t)，即s(t)为v(t)的原函数，这就是说，定积分v(t)dt等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a，b]上的增量s(b)－s(a).思考　函数f(x)与其一个原函数的关系：(1)若f(x)＝c(c为常数)，则F(x)＝cx；(2)若f(x)＝xn(n≠－1)，则F(x)＝·xn＋1；(3)若f(x)＝，则F(x)＝lnx(x>0)；(4)若f(x)＝ex，则F(x)＝ex；(5)若f(x)＝ax，则F(x)＝(a>0且a≠1)；(6)若f(x)＝sinx，则F(x)＝－cosx；(7)若f(x)＝cosx

3、，则F(x)＝sinx.知识点二　微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).思考　(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？答案　(1)不唯一.(2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一　求简单函数的定积分例1　计算下列定积分.(1)3dx；(2)(2x＋3)dx；(3)

4、(4x－x2)dx；(4)(x－1)5dx.解　(1)因为(3x)′＝3，所以3dx＝(3x)＝3×2－3×1＝3.(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，所以(2x＋3)dx＝(x2＋3x)＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.(3)因为′＝4x－x2，所以(4x－x2)dx＝＝－＝.(4)因为′＝(x－1)5，所以(x－1)5dx＝(x－1)6＝(2－1)6－(1－1)6＝.反思与感悟　(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：①求f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a).(2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F(x)是f(x

5、)的原函数，则F(x)＋C(C为常数)也是f(x)的原函数.随着常数C的变化，f(x)有无穷多个原函数，这是因为F′(x)＝f(x)，则[F(x)＋C]′＝F′(x)＝f(x)的缘故.因为f(x)dx＝[F(x)＋C]

6、＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)＝F(x)

7、，所以利用f(x)的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C了.跟踪训练1　求下列函数的定积分：(1)2dx；(2)(1＋)dx.解　(1)2dx＝dx＝x2dx＋2dx＋dx＝x3+2x+＝×(23－13)＋2×(2－1)－＝.(2)(1

8、＋)dx＝(＋x)dx＝＝－＝.题型二　求分段函数的定积分例2　求函数f(x)＝在区间[0,3]上的定积分.解　由定积分的性质知：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＝x3dx＋x2dx＋2xdx＝＋＋＝＋－＋－＝＋.反思与感悟　(1)分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以.跟踪训练2　求下列定积分：(1)

9、x2－1

10、dx；(2)dx.解　(1)∵y＝

11、x2－1

12、＝∴

13、x2－1

14、dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝＋＝＋－＝2.

15、(2)dx＝

16、sinx－cosx

17、dx＝(cosx－sinx)dx＋(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)＋(－cosx－sinx)＝－1＋(－1)－＝2－2.题型三　定积分的简单应用例3　已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值.解　∵′＝2ax2－a2x，∴(2ax2－a2x)dx＝＝a－a2，即f(a)＝a－a2＝－＋＝－2＋，∴当a＝时，f(a)有最大值.反思与感悟　定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用.跟踪

18、训练3　已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值.