人教A版高中数学选修1-1同步检测：第三章_章末复习课.doc

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1、章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关于切线的注意点在确定曲线在某点处切线的方程时，一定要首先确定此点是否为切点，若此点是切点，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不是切点，则需应先设切点，再求斜率，写出直线的方程．2．求函数单调区间的两个关注点单调区间的求解过程中，应关注两点：(1)不要忽略y＝f(x)的定义域；(2)增(减)区间有多个时，用“，”或者用“和”连接，切不可用“∪”连接．3．函数单调性与导数的关系的注意点若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明．f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f

2、′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．4．可导函数的极值与导数的关系的注意点x0为极值点能推出f′(x0)＝0，但反之不一定．f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．x0是极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0点两侧导数异号．5．函数的最值与极值的注意点(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．(2)

3、在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较，不可直接用极大(小)值替代最大(小)值．专题1　导数的运算与导数的几何意义在导数的运算中，要熟练掌握基本导数公式和运算法则．由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．[例1]　(1)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，

4、则a＋b的值是________．(2)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．解析：(1)由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，可得－5＝4a＋.①y′＝2ax－，则曲线在点P处的切线斜率为4a－，由题意可知4a－＝－.②由①②解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.(2)设P(x0，y0)．因为y＝xlnx，所以y′＝lnx＋x·＝1＋lnx．所以1＋lnx0＝2，解得x0＝e，所以y0＝elne＝e.所以点P的坐标是(e，e)．答案：(1)－3　(2)(e，e)归纳升华1．函数y＝f(x)在点x0

5、处的导数为f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．2．求曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线方程：设切点Q(x1，f(x1))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，把点P的坐标代入切线方程解得x1，再回代到切线方程中．[变式训练]　已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

6、解：(1)点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又因为直线l过点(0，0)，所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，所以x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l的方

7、程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．专题2　利用导数研究函数的性质把导数作为数学工具，求解单调区间，研究函数的极大(小)值，以及求在闭区间[a，b]的最大(小)值是本章的重点．利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时一定要熟练它们的求解方法．[例2]　已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x.因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝3a·＋2×＝－＝0，解得a＝.经检验满足题意．(2)由(1)

8、知g(x)＝ex，定义域为R，所以g′(x)＝ex＋ex＝ex＝x(x＋1)(x