人教A版高中数学选修2-1同步检测：第三章_章末复习课.doc

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1、章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．几种空间向量之间的区别与联系(1)a与其相反向量－a为共线向量(平行向量)．(2)相等向量为共线向量(平行向量)，但共线向量(平行向量)不一定为相等向量．(3)若两个非零向量共线，则这两个向量所在的直线可能平行，也可能重合，空间中任意两个向量都是共面的，这些概念一定要准确理解．2．向量的数量积运算与实数的乘法运算的不同点(1)a·b＝0a＝0或b＝0.(2)a·c＝a·bc＝b.(3)(a·b)ca·(b·c)(4)a·b＝ka＝.3．向量共线充要条件及注意点(1)对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的

2、充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)注意点：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta.(3)坐标表示下的向量平行条件．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，这一形式不能等价于＝＝，只有在向量b与三个坐标轴都不平行时才可以这样写．4．向量共面充要条件及注意点(1)若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(2)注意点：①空间一点P位于平面AB

3、C内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y；②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，则点P与点A，B，C共面．5．利用向量法求空间角的注意事项(1)利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别．例如，若△ABC的内角∠BAC＝θ，则与夹角为π－θ，而非θ.(2)特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的大小．(3)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错．专题一　空间向量及其运算空间向量及其运算的

4、知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．[例1]　沿着正四面体OABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值．解：如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，所以

5、f

6、2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)＝

7、a

8、2＋4

9、b

10、2＋9

11、c

12、2＋4a·b＋6a·c＋12b·c＝14＋4cos60°＋6co

13、s60°＋12cos60°＝14＋2＋3＋6＝25，所以

14、f

15、＝5，即所求合力的大小为5.且cos〈f，a〉＝＝＝＝，同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.归纳升华空间向量的运算有加、减、数乘和数量积的运算，有三角形法则、平行四边形法则、首尾相接的多边形法则，通过这些运算可以对向量多项式进行化简、整理、求值，可以用来解决共线、共面、平行、垂直等问题，向量运算是解决数学问题的重要工具，应该熟练掌握，灵活运用．在不利于建立空间直角坐标系的情况下，选择恰当的基底，通过基向量的运算解决数学问题是十分有效的数学方法，应当高度重视．[变式训练]　有下列命题：

16、①若∥，则A，B，C，D四点共线；②若∥，则A，B，C三点共线；③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故③正确；易知④也正确．答案：②③④专题二　利用空间向量证明空间中的位置关系用向量作为

17、工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数有机结合，给立体几何的研究带来了极大的便利．利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．[例2]　正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则E、D1(0，0，1)，F、A(1，0，0)．所以＝(1，0，0)＝，＝，＝.设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，由⇒令y1＝1，得m＝(0，1，－2)．

18、又由⇒令z2＝1，得n＝(0，2，1)．因为m·n＝