函数有限和有界的关系.doc

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1、可测函数有界和有限的关系设是可测集上的可测函数.1.称在上有界,如果存在某个,使得,();2.称在上几乎处处有界,如果存在某个,存在零测集,使得,();3.称在上(处处)有限,如果,();4.称在上几乎处处有限,如果存在零测集,使得,().5.称在上几乎有界,如果对于任意的，存在可测集，使得且在上有界，即存在，使得，().思考题可不可以定义：“几乎有限”,“几乎处处几乎有界”，“几乎几乎处处有界”，……？有限和有界的关系如下(i)在上有界,则在上一定(处处)有限;例设,(ii)在上几乎处处有界,则在上一定几乎处处有限;例设,(ii

2、i)在上(处处)有限,未必在上有界;例(有限但无界)设,.则在上每一点都有限,但在上无界.(iv)在上几乎处处有限,未必在上几乎处处有界;命题设并且在上几乎处处有限,则在上几乎有界，即对于任意的，存在可测集，使得且在上有界，即存在，使得，().【证】因为函数在上是几乎处处有限的，则是零测集，而.又是测度有限界集而是单调减少(渐缩)集列，因此.故对于任意正数存在，使得.记，则是可测集，且在上，是有界函数：，.例(有限但未必几乎有界)设,.则在上每一点都有限,但在上无界并且不是几乎有界的.