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1、Vol.21(2001)数学杂志No.3J.ofMath.(PRC)有界正则函数的导数估计苑文法(三峡大学数学系,宜昌443003)摘要:在这篇文章中,主要讨论了n阶导数的估计式,即对有界正则函数(z)=c0+c1z+⋯+cnnz+⋯(在z<1内正则),从已知的三阶、四阶导数估计式,利用归纳法原理及有界正则函数的性质推出n阶导数的一般估计式,并推出在z<1内正则的正实部函数的n阶导数的一般估计式.关键词:有界正则函数;导数估计MR(2000)主题分类:30C10中图法分类号:O174文献标识码:A文章
2、编号:0255--7797(2001)03-0301-031引言设(z)在z<1内正则,且(z)<1,则在z<1内,我们有熟知的不等式:22′(z)≤(1-(z))/(1-z)[1]随后,潘一飞、廖孝中得到了二阶与三阶导数的估计式.当(z)满足上述条件时,则2!(1+z)2″(z)≤22(1-(z))(1-z)然而文[1]中有关三阶导数的估计式是有误的,本人得到三阶导数的估计式如下:23!(1+2z+3z)2(z)≤23(1-(z))(1
3、-z)本文的目的在于讨论n阶导数的一般估计式,从而推广了上述结果.2n阶导数的估计定理1设(z)在z<1内正则,且(z)<1,则2n-1(n)n!(1-(z))m(z)≤2n∑I(n,m)z(1)(1-z)m=0n-1n-k-1其中:I(n,0)=1,I(n,1)=n-1,I(n,m)=∑Cn-1I(n-k,m-k);k=1m≤n-1,m=1,2,⋯n-1收稿日期:2000-12-26.302数学杂志Vol.21证我们利用归纳法来证明:22当n=1时,有:I(1,0)=1,得
4、′(z)≤(1-(z))/(1-z);0当n=2时,I(2,1)=C1I(1,0)=1,I(2,0)=1,得,2!(1+z)2″(z)≤22(1-(z));(1-z)设当n=k时,估计式成立,即有:2k-1(k)k!(1-(z))m(z)≤2k∑I(k,m)z(2)(1-z)m=0z+s下证n=k+1的情形.考虑函数(z)=()并对其求k+1阶导数,然后令z=0,并利-1+sz[2]用三角不等式,参见,然后将s换为z.我们可得到:(k+1)2k+1(z
5、)(1-z)(k+1)!k(v)2v-1k-v+12v(z)≤(1-(z))+∑[Ckz(1-z)](3)v=1v!将(2)式代入(3)式,得(k+1)2k+1(z)(1-z)/(k+1)!kv-12v-1k-v+1m2≤(1-(z))+∑[Ckz∑I(k,m)z](1-(z))v=1m=0k2v-1k-v+1k-1=(1-(z){1+∑Ckz[I(k,0)+I(k,1)z+⋯+I(k,k-1)z]}v=12k-1k-1k-12=(1-
6、(z)){1+Ckz+[CkI(k,1)+CkI(k-1,k-2)]z+⋯k-1k-210k+[CkI(k,k-1)+CkI(k-1,k-2)+⋯+CkI(2,1)+CkI(1,0)]z}22k-v2=(1-(z)){1+kz+[∑CkI(k-v+1,2-v)]zv=13sk-v3k-vs+[∑CkI(k-v+1,3-v)]z+⋯+[∑CkI(k-v+1,s-v)]z+⋯V=1v=1kkk-vk2m+[∑CkI(k-v+1,k-v)]z=(1-(z))∑I(k,m)
7、zv=1m=0即为(1)式,其中:I(n,0)=1,I(n,1)=n-1,m≤n-1,m=1,2,⋯n-1mn-k-1I(n,m)=∑Cn-1I(n-k,m-k)k=1定理1得证.3说明对于正实部函数,利用其系数不等式,我们有定理2设g(z)在z<1内有界正则,且Reg(z)>0则n-1(n)2n!Reg(z)mg(z)≤2n∑I(n,m)z(1-z)m=0其中I(n,m)的要求及递推式与定理1中的相同.No.3苑文法有界正则函数的导数估计303参考文献:[1]潘一飞,廖孝中.关于有界函数的导
8、数[J].江西师范大学学报,1984,1:21～24.[2]龚升.关于Mbius变换的一点注记[J].纯粹数学与应用数学,1985,1(1):1～15.ESTIMATIONOFDERIVATIVESFORBOUNDEDREGULARFUNCTIONSYUANWen-fa(苑文法)(Dept.ofMath.,SanxiaUniversity,Yichang,443003)
