数学模型复习-第6章 代数方程与差分方程.doc

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1、第6章代数方程与差分方程补充知识（7.7）差分方程求通解、平衡点及其稳定性线性差分方程（组）平衡点及其稳定性分析方法：一阶线性差分方程：，平衡点方程。相减得到，偏差满足齐次方程（非齐次解-非齐次解为齐次解），稳定性要求齐次方程的解收敛于零。由，（或直接考虑齐次方程，），稳定条件为。总结：求平衡点方程，平衡点稳定等价于齐次方程的解收敛于零。对比一阶微分方程和通解、平衡点及其稳定性分析平衡点稳定条件为。平衡点分析只需考虑齐次方程即可，误差满足齐次方程，误差收敛于零则平衡点稳定。二阶线性差分方程：，平衡点方程。稳

2、定性就是讨论是否收敛于零，满足齐次方程，其解为，是特征方程的根。稳定条件是总结：求平衡点方程，平衡点稳定性等价于齐次方程的解收敛于零，求齐次方程通解（特征方程方法），稳定条件为特征值的模均均小于1。对比二阶微分方程，，其平衡点为。其通解为，其中为特征方程的根，平衡点稳定条件为，即稳定条件是同为负数或负实部。一阶差分方程组等价于二阶差分方程，其通解形式类似。一阶齐次差分方程组的一般形式为，设通解形式为，则有，即为的特征值，为对应的特征向量。若有两个不同的特征值，对应的特征向量为，则通解为平衡点稳定的条件是二阶

3、齐次差分方程的通解形式为其平衡点稳定的条件是非线性问题可应用线性化方法得到近似的线性方程，讨论平衡点的稳定性。小结：平衡点就是时的极限状态，求极限得到平衡点。稳定性条件就是对应的齐次方程的通解收敛于零的条件（一阶，二阶），非线性用线性化近似（导数，雅克比矩阵）。差分方程的解是幂，稳定性要求。微分方程的解是指数，要求为负或负实部。§6.4蛛网现象与差分方程组1。掌握蛛网差分方程和求平衡点的方法，掌握分析二维平衡点稳定性条件的方法（平衡点展开，消元得到递推公式）2价格和供应量变化的蛛网现象和蛛网差分模型（差分方

4、程）平衡点方程：稳定性条件（线性化方法-局部展开线性近似）：而，得到稳定条件为，即。一阶差分方程组和一阶微分方程组类似，可用消元法转化为二阶方程求解，也可以直接求解。例题：求二阶差分方程的通解和平衡点，讨论平衡点的稳定性。解：特征方程为，。其通解为。平衡点满足，即。当时，，因此平衡点是稳定的。【典型例题与实验】例题（习题1）对于§7.1节蛛网模型讨论下列问题:(1)因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第段和第时段的数量和决定。如果仍设只取决于，给出稳定平衡的

5、条件，并与§7.1节的结果进行比较(2)若除了由和决定之外，也由前两个时段的价格和确定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。解：（1）简单的假设由和的平均值确定，模型为整理得到：，其特征方程为，利用定理可知，其根均小于1的条件为和。因，故条件为直接计算，当时，，当时，稳定条件为，,（2）由条件可设，也是由的平均值决定，模型为整理得到特征方程为，该方程所有特征根的条件为。例题(1)给出求二阶差分方程通解的方法；(2)求差分方程组的平衡点，推导平衡点稳定的条件。解：求通解的方法：（1）特征方程为的特征根，设特征根

6、为，则通解为。（2）平衡点为。令，则有，消元得到，即，特征方程的根为共轭复根，且。其平衡点稳定条件为特征根的模小于1，即稳定条件为。§6.5减肥计划模型体重指标-BMI（BodyMassIndex)本节重点：差分方程的相关计算，求系数，求控制，求时间。体重模型：差分方程反问题：（1）求系数（参数），已知平衡点求系数平衡点方程：，可确定。由求解得到,且由状态目标求控制。（2）求：，递推求解由求。由状态目标求时间。还可以求初始值。抵押贷款问题，养老金问题。【综合实验与拓展】综合实验一、对于蛛网模型，设计给出价格

7、函数和生产函数的具体形式，求平衡点，讨论平衡点的稳定性，应用数值实验方法，研究平衡点稳定性与相关参数之间的关系。综合实验二、推导一般的三次多项式根模小于1的条件，应用MATLAB中的roots验证所给出的条件。