应用微分方程与差分方程建立数学模型

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1、第一部分应用微分方程建立数学模型第一节基础知识一、基本概念：微分方程、阶、解、通解、特解、积分曲线、初值问题二、方程的类型及其解法五类一阶方程及其解法、简单的可降阶的高阶方程、简单的微分方程组三、微分方程稳定性理论简介1、一阶方程的平衡点和稳定性（1）定义1：设有微分方程右端不显含自变量，代数方程的实根称为方程（1）的平衡点（或奇点），显然它是方程（1）的解（或称奇解）.定义2：如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解都满足则称平衡点是稳定的（或渐近稳定）；否则，称平衡点是不稳定的（或不渐近稳定）；（2）判断平衡点是否稳定的两种常用方法：间接法：利用定义2

2、，即利用（3）式.直接法：不求方程（1）的解，将在点处作泰勒展开，只取一次项，方程（1）近似为（4）称为（1）的近似线性方程，显然也为方程（4）的平衡点。则关于平衡点是否稳定有如下结论：若，则平衡点对于方程（4）和（1）都是稳定的；若，则平衡点对于方程（4）和（1）都是不稳定的2、二阶方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示（5）定义3：代数方程组的实数根，称它为（5）的一个平衡点（或奇点），记为.定义4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解，都满足（6）则称平衡点是稳定的（或渐近稳定）；否则，称是不稳定的（或不渐近稳定）.为了用直接法讨论方

3、程（5）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程组的一般形式为（7）显然为系统的奇点，记系统系数矩阵，特征方程为为了书写方便，令，于是特征方程可写为特征根为.下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究：1）ⅰ二根同正,二根同负,是不稳定结点二根异号,是鞍点ⅱ是稳定结点2）负的重根是不稳定的临界结点正的重根是不稳定的退化结点是稳定的临界结点是稳定的退化结点3）复数根的实部不为零是不稳定焦点是稳定焦点复数根的实部为零是中心这些结果可以全都反映在下列参数平面上从而，根据特征方程的系数、的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若、则平衡点稳定；或则平衡点不稳定.

4、若对于一般的非线性方程（5），可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性：设是方程（5）的奇点，总可以用坐标平移使对应新坐标的原点在点作泰勒级数展开得（8）其中将右端高次项略去，得一次近似（9）在一般情况下用下面的定理：定理1：对于非线性系统（5），若有（即我们讨论的奇点是初等奇点，也就是线性系统的系统矩阵的特征值非零），且为系统（7）的结点（不包括退化结点及临界结点）、鞍点或焦点.又在的邻域连续可微，且满足则非线性系统（5）的奇点类型与其近似线性系统（7）的奇点类型完全相同.第二节微分方程模型应用微分方程建立数学模型通常要运用如下两种方法：1、所谓平衡原理是指自然界

5、的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.2、微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子.一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人

6、口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（马尔萨斯（Malthus）人口模型或称指数增长模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间

7、内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解设时刻的人口为,把当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在到时间段内,人口的增长量为并设时刻的人口为,于是这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样,,,于是这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定

8、34.6年