第6章 代数方程与差分方程模型ppt课件.ppt

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1、6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.4市场经济中的蛛网模型6.5减肥计划——节食与运动6.6按年龄分组的人口模型第六章代数方程与差分方程模型6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州的沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界!当时资料是保密的,无法准确估计爆炸的威力.英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带,利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2×103t.后来公布爆炸实际释放的能量为21×103tt(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011

2、.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量：时刻t所对应的“蘑菇云”的半径r原子弹爆炸的能量估计爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远

3、.冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来.泰勒用量纲分析方法建立数学模型,辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.物理量的量纲长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a的量纲[a]=LT-2力f的量纲[f]=LMT-2引力常数k的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)量纲齐次原则=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系.量纲齐次原则等式两端的量纲一致量

4、纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动lmgm求摆动周期t的表达式设物理量t,m,l,g之间有关系式1,2,3为待定系数，为无量纲量(1)的量纲表达式与对比单摆运动中t,m,l,g的一般表达式y1~y4为待定常数,为无量纲量基本解设f(q1,q2,,qm)=0ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定.定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,,Xn是基本量纲,nm,q1,q2,,qm

5、的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r个基本解，记作为m-r个相互独立的无量纲量,且则[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力f航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g。m=6,n=3Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-rm-r个无量纲量F(1,2,3)=0与(g,l,,v,s,f)=0等价为得到阻力f的显式表

6、达式F=0未定F(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形.时刻t球的半径为rt,E空气密度ρ,大气压强P基本量纲：L,M,T原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模r与哪些因素有关？rtEρPLMT量纲矩阵y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模有2个基本解两个无量纲量原子弹爆炸能量估计的数值计算时间t非常短能量E非常大泰勒根据一些小型爆炸试验的数据建议用r,t的实际数据做平均空气密度=1.2

7、5(kg/m3)1×103t(TNT能量)=4.184×1012JE=19.7957(×103t)E=8.2825×1013(J)实际值21×103t泰勒的计算tr最小二乘法拟合r=atbE=8.0276×1013(J),即19.2×103t取y平均值得c=6.9038模型检验b=0.4058~2/5量纲分析法的评注物理量的选取基本量纲的选取基本解的构造结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数n;选哪些基本量纲.有目的地构造Ay=0的基本解.方法的普适性函数F和无量纲量未定.不需要特定的专业知识.6.4市场经济中的蛛网

8、模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商