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1、第七章差分方程模型差分方程~离散时段上描述变化过程的数学模型一年期存款年利率为r，存入M，记第k年本息为xkn年后本息为污水处理厂每天将污水浓度降低比例q,记第k天的污水浓度为ck,离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的天后污水浓度降低一半一阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程线性常系数差分方程组非线性差分方程差分方程例1濒危物种(Florida沙丘鹤)的自然演变和人工孵化一阶线性常系数差分方程在较好自然环境下，年平均增长率为1.94%在中等自然环境下，年平均增长率为-3.24%在较差自然环
2、境下，年平均增长率为-3.82%如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算.生态学家估计如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区，在中等自然环境下鹤的数量将如何变化?模型及其求解记第k年沙丘鹤的数量为xk，自然环境下年平均增长率为r设每年人工孵化的数量为b，结果分析时间充分长后(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势a>1(r>0)时xk→∞,a<1(r<0)时xk→0自然环境下在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。人工孵化条件下a<1(r<0)时xk→x=b/(1-a)x=5
3、/0.0324=154.32一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性一般形式差分方程的平衡点差分方程的解c由初始值x0确定若k→∞时xk→x,平衡点x稳定,否则平衡点x不稳定平衡点稳定的充要条件是a<1代数方程x=ax+b的根x=b/(1-a)市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~
4、第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下
5、时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程
6、x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件补充：高阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性1,2,…nc1,…,cn由初始值x1,…,xn确定特征方程特征根平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件:所有特征根的模小于1方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了模型的推广减肥计划——节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去
7、的目标分析体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525~超重;BMI>30~肥胖.模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重
8、减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗2
