最新差分方程模型教学讲义ppt课件.ppt

《最新差分方程模型教学讲义ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、差分方程模型1、差分方程简介规定只取非负整数，记为变量在点的取值，则称为的一阶向前差分，称为的二阶差分。由、及的差分给出的方程称为的差分方程。其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。差分方程也可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分方程可以写成满足一阶差分方程的序列称为差分方程的解，若解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。称如下形式的差分方程为阶常系数线性差分方程，其中是常数，。其对应的齐次方程为2、常系数线性差分方程的变换解法采用上述解析解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，下面介绍变换，将差分方程转化为代数方程去求解设有

2、离散序列，则的变换定义为其中是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外部的反变换记作几个常用离散函数的变换(3)单边指数函数的变换(为不等于1的正常数)(1)单位冲激函数的变换(2)单位阶跃函数的变换(1)线性性质设，则变换的性质(2)平移性质：设，则例2.求解齐次差分方程解令，对差分方程取变换得对上式取反变换，便得差分方程的解为1、问题的提出在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种商品的价格的变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其他商品，一段时间之后，随着

3、产量的下降，供不应求又会导致价格上升，又会有很多生产商进行该商品的生产，随之而来的是商品过剩，价格下降。在没有外界干预的情况下，这种现象会反复出现。如何从数学的角度来描述上述现象呢？2、模型假设(1)设时段商品数量为，其价格为，这里把时间离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。(2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，称为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。(3)下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假设供应函数是一个单调递增的函数。

4、3、模型求解在同一坐标系中同时做出供应函数和需求函数的图形，设两条曲线相交于则为平衡点。因为此时若某个有，则可推出即商品的数量保持在，价格保持在。不妨假设下面考虑在图上的变化如右图所示。当给定后，价格由上的点决定，下一时段的数量由上的点决定，又可由上的点决定。依此类推，可得一系列的点图上的箭头表示求出的次序，由图知即市场经济趋于稳定。并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定，若给定的和的图形如右图所示，得到的就不趋于，此时市场经济趋于不稳定。图1和图2中的折线形如蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进行市场经济分析中，取决于消费者对某种商品的需求程度及其消费水平，取

5、决于生产者的生产、管理等能力。当已知需求函数和供应函数之后，可以根据和的性质判断平衡点的稳定性。当较小时，的稳定性取决于和在点的斜率，即当时，点稳定。当时，点不稳定。这一结论的直观解释是，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。设在点附近取和的线性近似，于是得从上两式中消去得…………………………………………..以上个式子相加，有若是稳定点，则应有，所以点稳定的条件是同理点不稳定的条件是4、模型修正在上述模型的基础上，对供应函数进行改进。下面在决定商品的生产数量时，不仅考虑前一时期的价格，而且考虑了价格，取，在附近取线性近似，则有于是得将上述两式整理得到二阶线性

6、差分方程其特征方程为经计算得其特征根结论：若方程的特征根均在单位圆内，则为稳定点。当时，该特征方程有两个实根，因则有，故此时不是稳定点。当时，特征方程有两个共轭复根，共轭复根的模的绝对值为要使点为稳定点只需与前面的模型的结果相比，的范围扩大了。这是由于经营管理者的水平提高带来的结果。商品销售量预测在利用差分方程建模究实际问题时，常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。其系统稳定性的讨论要用到代数方程的求根。例3某商品前五年的销售量见右表1。现希望根据前五年的统计数据预测第六年起该商品在各季度中的销售量。第一年第二年第三年第四年第五年11112131

7、51621618224253252627303241214151517由于该问题的数据少，用回归分析效果不一定好。如果认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或者前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。以第一季度为例，以表示第年第一季度的销售量，建立形式如下的差分方程上述差分方程不一定能使所有统计数据吻合，较为合理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。即选取使得最小。根据这一方程可以迭代求解以后各年第一季度销售量的预测值。第7年销售量预测值居然小于第6年的，稍作分析，不难看出，如分别对第一季度建立差分方程，则根据统计数