差分与差分方程的概念.doc

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1、第十章差分方程§10.6差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构教学目的与要求：1.了解差分与差分方程，差分方程的阶与解（通解、特解）等基本概念。2.了解常系数线性差分方程的通解的结构。教学重点（难点）：常系数线性齐次差分方程解的结构。一、差分的概念1.差分的定义定义1设函数,自变量从x变化到x+1,称函数的增量为在点x的差分,简称为的差分。记，即，一阶差分称=为二阶差分；称为为三阶差分；一般，为n阶差分，且有.例1已知求Δ(yx).解Δ(yx)=.特别,当n为正整数时,Δ(yx)=,阶数降了一阶.推论若m,,n为正整数时,m,>nP(x)为n次多项式,则.例2

2、　已知求Δ(yx).解Δ(yx)=.例3　求。例42.差分的四则运算法则；；例5分析：注意：解：例6二、差分方程的概念1.差分方程与差分方程的阶或或，2.差分方程的解满足差分方程的函数称为差分方程的解．含有阶数个互相独立的任意常数的解称为差分方程的通解．不含有任意常数的解称为差分方程的特解．同微分方程一样也有初值问题.初值条件也有如下情形:一阶的如:.二阶的如:,等等.三、常系数线性差分方程解的结构n阶线性差分方程：时为齐次的.为非齐次的.n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式（10-1）对于线性差分方程的解的结构有如下结论：定理1

3、如果和都是方程（10-1）的解，则对任意常数C1,C2,也是方程（10-1）的解．定理2设，是的n个线性无关的特解，则是它的通解.定义4：线性相关、线性无关线性无关线性相关定理3设，是齐次方程的n个线性无关的特解，是非齐次方程的一个特解,则是非齐次方程的通解.定理4设是方程的解，是方程的解,则是方程的解.练习：四、小结1.差分的定义2.差分方程与差分方程的阶3.差分方程的解、定解条件和通解4.常系数线性差分方程解的结构答案：