全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题一函数与导数第3讲导数的热点问题练习理.pdf

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1、第3讲导数的热点问题「考情研析」利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数的零点、方程的根及不等式相结合，难度较大．解题时要注意分类讨论思想和转化与化归思想的应用.核心知识回顾1.利用导数解决与函数有关的方程根的问题(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路：①将问题转化为函数□01零点的个数问题，进而转化为函数图象□02交点的个数问题；②利用导数研究该函数在给定区间上的□03单调性、□04极值(最值)、□05端点值等；③画出函数的□06大致图象；④结合图象□07求解．(2)证明复杂方

2、程在某区间上有且仅有一解的步骤：①在该区间上构造与方程□08相应的函数；②利用导数研究该函数在该区间上的□09单调性；③判断该函数在该区间端点处的□10函数值异号；④作出结论．2．利用导数证明不等式不等式的证明可转化为利用导数研究函数的□01单调性、□02极值和□03最值，再由□04单调性或最值来证明不等式，其中构造一个□05可导函数是用导数证明不等式的关键.热点考向探究考向1利用导数讨论方程根的个数xb例1(2019·广东省七校联合体高三联考)已知函数f(x)＝ln－ax＋(a>0，b>0)，对2x4任意x>0，都有f(x)＋

3、f＝0.x(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)存在三个不同的零点时，求实数a的取值范围．4xb24axb解(1)由f(x)＋f＝ln－ax＋＋ln－＋＝0，得b＝4a，x2xxx4x4a14a则f(x)＝ln－ax＋，f′(x)＝－a－2xxx2－ax2＋x－4a＝(x>0)，x21若Δ＝1－16a2≤0，即a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，41若Δ＝1－16a2>0，即00，x＝>0，2a22a又h

4、(x)＝－ax2＋x－4a开口向下．当00，f′(x)>0，f(x)单调递增，12当x>x时，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减．2111－1－16a2综上所述，当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当0

5、的零点．41当0f(2)＝0.1212x4a11f(x)＝ln－ax＋，f＝－ln2a2－＋4a3，2xa2a14a112a4－2a＋1令g(a)＝－ln2a2－＋4a3，g′(a)＝－＋＋12a2＝.a2a2a2a2令m(a)＝12a4－2a＋1，m′(a)＝48a3－2单调递增．11由m

6、′(a)＝48a3－2＝0，求得a＝>.043241131当0m＝－＋1>0，44642111f＝g(a)＝－ln2a2－＋4a3在0，上单调递增．a2a4111故f＝g(a)0，>x，a22a2214由零点存在性定理知f(x)在区间x，上有一个根，设为x，又f(x)＋f＝0，得2a200x04144f＝0，由x

7、0时，求函数f(x)在区间(1，e2)内的零点个数．2a－x2解(1)∵

8、f(x)＝2alnx－x2，∴f′(x)＝，x∵x>0，2a－x2当a≤0时，f′(x)＝<0，x2a－x2－2x－ax＋a当a>0时，f′(x)＝＝，xx当00；当x>a时，f′(x)<0，∴