（全国通用）2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题二 函数与导数 第4讲 导数的热点问题试题

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1、第4讲　导数的热点问题(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.热点一　利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例1　已知函数f(x)＝－lnx＋x－3.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：在(1，＋∞)上，f(x)＋2>0；(3)求证：×××…×<(n

2、≥2，n∈N*)．　思维升华　用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)，②对∀x1，x2∈[a，b]，且x1

3、b的值；(2)当x>1时，f(x)＋<0恒成立，求实数k的取值范围．热点二　利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．例2　　设函数f(x)＝＋c，e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R.(1)求f(x)的单调区间、最大值．(2)讨论关于x的方程

4、lnx

5、＝f(x)根的个数．思维升华　(1)函数y＝f(x)－k的零点问题，可转化为函数y＝f(x)和直线y＝k的交点问题．(2)研究函数y＝f(x)的值域，不仅要看最值，而且要

6、观察随x值的变化y值的变化趋势．跟踪演练2　已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围．　　　　热点三　利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优．例3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄

7、水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．　　思维升华　利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)作答：回归实际问题作答．跟踪演练3　将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平

8、行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R.(1)讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋；(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．　　提醒：完成作业　专题二　第4讲二轮专题强化练专题二第4讲　导数的热点问题A组　专题通关1．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)A．0B．1C．2D．32．已知R上可导

9、函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)·f′(x)>0的解集为(　　)A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)3．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)4．设函数f(x)＝x3－4x＋a(0－1B．x2<0C．02