高考数学大二轮总复习与增分策略-专题二 函数与导数 第3讲 导数及其应用练习 文

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1、第3讲　导数及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2016·四川改编)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________.答案　2解析　∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.2．(2016·课标全国乙改编)若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在

2、(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是____________．答案　解析　∵函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝1－(2cos2x－1)＋acosx＝－cos2x＋acosx＋≥0，即acosx≥cos2x－在(－∞，＋∞)恒成立．当cosx＝0时，恒有0≥－，得a∈R；当0

3、x－，令t＝cosx，f(t)＝t－在[－1,0)上为增函数，得a≤f(－1)＝.综上，可得a的取值范围是.3．(2016·山东改编)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．给出四个函数①y＝sinx；②y＝lnx；③y＝ex；④y13＝x3，其中具有T性质的是________．答案　①解析　对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－

4、1，∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.4．(2016·天津)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．答案　3解析　因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.1.导数的意义和运算是导数应用的基

5、础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　热点一　导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例1　(1)函数f(x)＝excosx的

6、图象在(0，f(0))处的切线方程为____________________．(2)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．答案　(1)x－y＋1＝0　(2)解析　(1)f′(x)＝excosx＋ex(－sinx)，f′(0)＝e0cos0＋e0(－sin0)＝1，f(0)＝e0cos0＝1，f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.(2)∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x

7、)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，切线方程为y－2＝8(x＋1)，13即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，∴所求面积S＝××10＝.思维升华　(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间

8、的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1　设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.答案　1解析　由题意得，y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线的斜率为k1＝＝1.因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.热点二　利用导数研究函数的单调性1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增