高考数学大二轮总复习与增分策略-专题二 函数与导数 第3讲 导数及其应用练习 理

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1、第3讲　导数及其应用1．(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)A．－4B．－2C．4D．2答案　D解析　∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.2．(2016·课标全国乙)若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)A．[－1,1]B.C.D

2、.答案　C解析　方法一　(特殊值法)：不妨取a＝－1，则f(x)＝x－sin2x－sinx，f′(x)＝1－cos2x－cosx，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A，B，D.故选C.方法二　(综合法)：∵函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，∴f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝1－(2cos2x－1)＋acosx＝－cos2x＋acosx＋≥0，即acosx≥cos2x－在(－∞，＋∞)恒成立．当cosx＝0时，恒有0≥－，得a∈R；当0

3、＝cosx，f(t)＝t－15在(0,1]上为增函数，得a≥f(1)＝－；当－1≤cosx<0时，得a≤cosx－，令t＝cosx，f(t)＝t－在[－1,0)上为增函数，得a≤f(－1)＝.综上，可得a的取值范围是，故选C.3．(2016·山东)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3答案　A解析　对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点

4、处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.4．(2016·天津)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．答案　3解析　因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.1.导数的意义和运算是导数应用的

5、基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现.热点一　导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例1　(1)(2016·课标全国甲)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y15＝ln(x＋1)的切线，则b＝_

6、_______.(2)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(　　)A．4B．5C.D.答案　(1)1－ln2(2)C解析　(1)y＝lnx＋2的切线为y＝·x＋lnx1＋1(设切点横坐标为x1)，y＝ln(x＋1)的切线为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)，∴解得x1＝，x2＝－，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.(2)∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得

7、y＝10，令y＝0，得x＝－，∴所求面积S＝××10＝.思维升华　(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1　设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.答案　1解析　由题意得，y′＝＝，15则曲线

8、y＝在点处的切线的斜率为k1＝＝1.因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得