2020届高考数学复习第二编讲专题专题一函数与导数第3讲导数的热点问题练习文.docx

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1、第3讲　导数的热点问题「考情研析」　利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数的零点、方程的根及不等式相结合，难度较大．解题时要注意分类讨论思想和转化与化归思想的应用.核心知识回顾1.利用导数解决与函数有关的方程根问题(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路：①将问题转化为函数零点的个数问题，进而转化为函数图象交点的个数问题；②利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等；③画出函数的大致图象；④结合图象求解．(2)证明复杂方程在某区

2、间上有且仅有一解的步骤：①在该区间上构造与方程相应的函数；②利用导数研究该函数在该区间上的单调性；③判断该函数在该区间端点处的函数值异号；④作出结论．2．利用导数证明不等式不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.热点考向探究考向1利用导数讨论方程根的个数例1　(2019·河南五校联考高三阶段性测试)已知函数f(x)＝ax－，a∈R.(1)当a＝1时，求f(x)的图象在点P(e，f(e))处的切线方程；(2)设

3、函数g(x)＝xf(x)－4，讨论函数g(x)的零点个数．解　(1)当a＝1时，f(x)＝x－，所以f′(x)＝1－，所以f′(e)＝1.又因为f(e)＝e－.所以函数f(x)的图象在点P(e，f(e))处的切线方程为y－＝x－e，即x－y－＝0.(2)由题意得g(x)＝xf(x)－4＝ax2－2lnx－4，定义域为(0，＋∞)，则g′(x)＝2ax－＝.①当a≤0时，g′(x)<0对于任意的x>0恒成立，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，令x0＝e，则0

4、>a－2lnx0－4＝0.又g(1)＝a－4<0，所以g(x)在(e，1)上有唯一零点．②当a>0时，令g′(x)>0，得x>.所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，故g(x)min＝g＝2ln－3＝lna－3.a．若a>e3，g(x)min>0，函数g(x)无零点；b．若a＝e3，g(x)min＝0，函数g(x)有唯一零点；c．若0－2lnx1－4＝0.令x2＝2＋>2＝>，则g(x2)＝ax－2lnx2－

5、4>ax－2x2－4>ax－4a－2x2－4＝(x2＋2)[a(x2－2)－2]＝0.所以函数g(x)在，上各有一个零点，从而函数g(x)有两个零点．综上可得，当a>e3时，函数g(x)没有零点；当a≤0或a＝e3时，函数g(x)有唯一零点；当0

6、．(2019·永州市高三第三次模拟)已知函数f(x)＝2alnx－x2.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间(1，e2)内的零点个数．解　(1)∵f(x)＝2alnx－x2，∴f′(x)＝，∵x>0，当a≤0时，f′(x)＝<0，当a>0时，f′(x)＝＝，当00；当x>时，f′(x)<0，∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．(2)由(1)，得f(x)max＝f()＝a

7、(lna－1)，当a(lna－1)<0，即00，即a>e时，由于f(1)＝－1<0，f()＝a(lna－1)>0，f(e2)＝2alne2－e4＝4a－e4＝(2－e2)(2＋e2)，若2－e2<0，即e

8、得f(x2)＝0，故此时函数f(x)在(1，e2)内有两个零点；若2－e2≥0，即a≥时，≥>，f(e2)≥0，且f()＝2aln－e＝a－e>0，f(1)＝－1<0，由函数的单调性可知f(x)在(1，)内有唯一的零点，在(，e2)内没有零点，从而f(x)在(1，e2)内只有一个零点．综上所述，当a∈(0，e)时，函数f(x)在(1，e2)内无零点；当a∈{e}∪时，函数f(x)在(1，e2)内有一个零点；当a∈时，函数f(x)在(1，e2)内有两个零点