高考数学专题六函数与导数第3讲导数及其应用学案文.doc

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1、第3讲　导数及其应用[考情考向分析]　1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点、不等式的结合常作为高考压轴题出现．热点一　导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例1　(1)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a

2、－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x答案　D解析　方法一　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.21方法二　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，∴f′(x)

3、＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.(2)(2018·雅安三诊)若曲线y＝x2与曲线y＝alnx在它们的公共点P处具有公共切线，则实数a等于(　　)A．1B.C．－1D．2答案　A解析　曲线y＝x2的导数为y′＝，在P(s，t)处的斜率为k1＝.曲线y＝alnx的导数为y′＝，在P(s，t)处的斜率为k2＝.由曲线y＝x2与曲线y＝alnx在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，可得＝，并且t＝s2，t＝alns，即∴lns＝，

4、∴s2＝e.可得a＝＝＝1.思维升华　(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1　(1)(2018·全国Ⅱ)曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为________．答案　2x－y－2＝0解析　因为y′＝，y′

5、x＝1＝2，

6、所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)若函数f(x)＝lnx(x>0)与函数g(x)＝x2＋2x＋a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是(　　)21A.B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－ln2，＋∞)答案　A解析　设公切线与函数f(x)＝lnx切于点A(x1，lnx1)(x1>0)，则切线方程为y－lnx1＝(x－x1)．设公切线与函数g(x)＝x2＋2x＋a切于点B(x2，x＋2x2＋a)(x2<0)，则切线方程为y－(x＋2x2＋a)＝2(x2＋1)(x－x2)，∴∵x2<0

7、1＋2－1＝－ln＋2－1，令t＝，∴0h(2)＝－ln2－1＝ln，∴a∈.热点二　利用导数研究函数的单调性1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．例2　(2018·惠州模拟)已知函数f

8、(x)＝4lnx－mx2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；21(2)若对任意x∈，f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)由题意知f′(x)＝－2mx＝(x>0)，当m≤0时，f′(x)>0在x∈(0，＋∞)时恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当m>0时，f′(x)＝＝(x>0)，令f′(x)>0，得0.∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当m≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当m>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)方法一　由题意知4lnx－mx2＋1≤0在

9、上恒成立，即m≥在上恒成立．令g(x)＝，x∈，∴g′(x)＝，x∈[1，e]，令g′(x)>0，得1