多元复合函数的求导法则.docx

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1、第四节多元复合函数的求导法则要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。重点：各种类型复合函数的求导与计算。难点：抽象函数的二阶偏导数计算。作业：习题8－4（）一．多个中间变量，一个自变量情况定理1如果函数及都在点可导，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数公式为（全导数）证明设有增量，相应函数及的增量为，此时函数相应获得的增量为．又由于函数在点处可微，于是由上节定理3证明有这里，当时，，上式除以得．当时，，，所以，即．此时，从形式上看是全微分两端除以得到的，常将称为全导数．推论

2、若，，，复合而的复合函数满足定理条件，则有全导数公式例1．设函数，而，，求全导数．解．二．多个中间变量，多个自变量情况定理2若及在点具有偏导数，而函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点两个偏导数存在，且有公式；例2．设函数，而，，求．解．注意为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：首先从自变量向中间变量画两个分枝，然后再分别从向自变量画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数．求（）时，我们只要把从到（）的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到，（）推论1.设函数，，在点有偏导数，而函数在对应

3、点偏导数连续，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有公式；．推论2.设函数具有偏导数，而函数可微，则复合函数在点偏导数存在，且有公式；．注意与区别:是把函数中的看成常数，对求偏导，是把中看常数，对求偏导．前者是复合后对的偏导数，后者是复合前对的偏导数．例3．设函数，而，求和．解．例4．设函数，而，求全导数．解．例5．设抽象函数，其中偏导数连续，求．解，其中，，其中，．三．复合函数的二阶偏导数若函数，，二阶偏导数连续，则复合函数存在二阶偏导数．记号，，，．例6．设复合函数，其中对具有二阶连续偏导数，求．解．练习题设函数，其中对具

4、有二阶连续偏导数，求．（）复合函数求偏导数步骤：（1）搞清复合关系——画出复合关系图；（2）分清每步对哪个变量求导，固定了哪些变量；（3）对某个自变量求导，应注意要经过一切与该自变量有关的中间变量而最后归结到该自变量．例7.设复合函数，且具有二阶连续偏导数，求，．解．例8.设函数的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标形式（1）；（2）解（1）直角坐标与极坐标关系，，则这里看作由函数及，，复合而成的复合函数，按复合函数求导公式，得，其中；，同理，其中；，上边两式平方后相加，得．（2）同理上边两式相加得四．全微分形式不变

5、形设函数具有连续偏导数，则全微分，若函数，有连续偏导数，则复合函数的全微分为．可见无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性．例9.利用全微分形式不变性求微分，其中，．解因为又因为，，所以若先求出，代入公式得结果完全一样．思考题1．如何求复合函数的偏导数？需要注意什么问题？