分立对称性晶格平移.ppt

《分立对称性晶格平移.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4.3分立对称性：晶格平移晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重要的应用。对一维周期势，τ+(a)V(x)τ(a)=V(x+a)=V(x),a为晶格常数。[H,τ(a)]=0,τ(a)和H可同时对角化.在H和τ(a)的共同本征矢中，由于τ幺正而非厄米，τ的期待值为复数且模为1。为求出τ(a)的本征态，先考虑无限高势垒的情形。此时电子只能局域于某格点附近。设相应能量本征态为

2、n>,H

3、n>=En

4、n>,n表示格点位置,不同

5、n>简并。虽然

6、n>是H的本征态,且H与τ(a)对易，

7、n>不是τ(a)的本征态。将不同

8、n>线性叠加,可得到τ(a)的本征态:有限高势垒时，

9、n>并不完全局域

10、于格点n，而是主要集中于格点n而随与n的距离而衰减。以

11、n>为基构造

12、θ>，

13、θ>仍为本征值为e-iθ的本征态由于设，有取k=θ/a，则可见晶格平移算符的本征态

14、θ>之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘：且，k空间范围称为(第一)BrillouinZoneBloch定理能量本征值可见不同k=θ/a的态能量本征值不同.能量本征值紧束缚近似:<0

15、H

16、0>=E0,原来简并的能级被消简并，形成能量范围为E0-2Δ到E0+2Δ的能带。非紧束缚：能带概念相似，形状复杂些多电子、多原子晶胞：不同能带原则上可交叉§4.4时间反演分立对称性一、牛顿力学的时间反演变换经典力学情形：一受保守

17、力场作用的粒子其轨迹如图若x(t)是牛顿方程的解，令t’=-t,有x(-t)也是牛顿方程的解(时间反演:xx,dx/dt-dx/dt)可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。二、电动力学的时间反演变换Maxwell方程：Lorentz力：对t-t变换,若则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。即若上述讨论表明，经典物理中的时间变换为：t-t，xx,v-v(p-p),ρρ,EE,j-j,B-B三、薛定谔方程的时间反演变换对薛定谔方程，，作时间反演：可见Ψ(x,-t)与Ψ(x,t)满足不同的方程对上式取复共轭，得：可见对解Ψ(x,t)，有相应解Ψ*

18、(x,-t)因Ψ(x)=

19、α>，时间反演波函数由

20、α>*给出四、反幺正算符若一对称操作使，从前遇到的情况为内积不变，相应对称操作以幺正算符表征对时间反演,波函数变为复共轭,应有定义：对变换,如果称θ为反幺正算符后一式所定义的算符称为反线性算符。一般而言，反幺正算符可写成θ=UK，U为幺正算符，K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即若

21、α>不是基矢,可展开为以

22、a’>为基矢的矢量:K的作用效果依赖于基矢的选取（因而U也必与基矢的选取有关）θ是反幺正的说明：θ是反线性的θ是反幺正的五、时间反演算符Θ时间反演态（运动反演态）：Θ

23、α>如由上面讨论知,动量本征态

24、p>的时间

25、反演态:Θ

26、p>=

27、-p>时间反演算符的基本性质由态矢时间反演的对称性：得：-iHΘ=ΘiH，Θ应为反幺正算符HΘ=ΘH六、时间反演算符Θ的运算仅考虑Θ从左边作用于右矢，和利用及左右矢的对偶对应关系重要等式：这是因为对有故对厄米算符A，有若ΘAΘ-1=±A，称A在时间反演下具有偶(奇)对称由此，可得A在时间反演态的期望值：由，知ΘpΘ-1=-p类似地,ΘxΘ-1=x,Θ

28、x’>=

29、x’>从可知ΘJΘ-1=-J七、厄米算符的时间反演对称性八、波函数的变化由知：对球谐函数：可见：定理：若H在时间反演下不变，且能量本征态非简并，则相应波函数是实的。证:HΘ

30、n>=ΘH

31、n>=EnΘ

32、n

33、>,Θ

34、n>与

35、n>相同,故

36、n>=

37、n>*注意：时间反演态的动量空间波函数为Φ*(-p)九、自旋1/2体系的时间反演因(时间反演的效果)得由于有所以：对无自旋体系Θ2=1两者很不相同！十、一般角动量体系的时间反演由,得而故对任意

38、α>:此外：一般地可有：需要指出：最方便的相位约定依所处理的物理问题而定，但Θ2=±1与相位约定无关。十一、球张量的时间反演性质对若A是的分量，由于Wigner-Eckart定理只要考虑q=0的分量即可。对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定：；由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本征态=0，这对非宇称本征态亦成立

39、十二、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并电荷在静电场中，V(x)=eΦ(x),[H,Θ]=0由于[Θ,U(t,t0)]≠0,不存在量子数的时间反演守恒。但[H,Θ]=0对无自旋粒子导致非简并态波函数为实数更重要的推论是Kramers简并。由于

40、n>与Θ

41、n>同为H的本征态，若非简并，Θ

42、n>=eiδ

43、n>.对j半整数体系，则-

44、n>=ΘΘ

45、n>=Θeiδ

46、n>=

47、n>,故

48、n>与Θ

49、n>不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。因此，具有不同奇偶电