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1、§4.3分立对称性:晶格平移晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重要的应用。对一维周期势,τ+(a)V(x)τ(a)=V(x+a)=V(x),a为晶格常数。[H,τ(a)]=0,τ(a)和H可同时对角化.在H和τ(a)的共同本征矢中,由于τ幺正而非厄米,τ的期待值为复数且模为1。为求出τ(a)的本征态,先考虑无限高势垒的情形。此时电子只能局域于某格点附近。设相应能量本征态为
2、n>,H
3、n>=En
4、n>,n表示格点位置,不同
5、n>简并。虽然
6、n>是H的本征态,且H与τ(a)对易,
7、n>不是τ(a)的本征态。将不同
8、n>线性叠加,可得到τ(a)的本征态:有限高势垒时,
9、n>并不完全局域
10、于格点n,而是主要集中于格点n而随与n的距离而衰减。以
11、n>为基构造
12、θ>,
13、θ>仍为本征值为e-iθ的本征态由于设,有取k=θ/a,则可见晶格平移算符的本征态
14、θ>之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘:且,k空间范围称为(第一)BrillouinZoneBloch定理能量本征值可见不同k=θ/a的态能量本征值不同.能量本征值紧束缚近似:<0
15、H
16、0>=E0,原来简并的能级被消简并,形成能量范围为E0-2Δ到E0+2Δ的能带。非紧束缚:能带概念相似,形状复杂些多电子、多原子晶胞:不同能带原则上可交叉§4.4时间反演分立对称性一、牛顿力学的时间反演变换经典力学情形:一受保守
17、力场作用的粒子其轨迹如图若x(t)是牛顿方程的解,令t’=-t,有x(-t)也是牛顿方程的解(时间反演:xx,dx/dt-dx/dt)可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。二、电动力学的时间反演变换Maxwell方程:Lorentz力:对t-t变换,若则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。即若上述讨论表明,经典物理中的时间变换为:t-t,xx,v-v(p-p),ρρ,EE,j-j,B-B三、薛定谔方程的时间反演变换对薛定谔方程,,作时间反演:可见Ψ(x,-t)与Ψ(x,t)满足不同的方程对上式取复共轭,得:可见对解Ψ(x,t),有相应解Ψ*
18、(x,-t)因Ψ(x)=19、α>,时间反演波函数由20、α>*给出四、反幺正算符若一对称操作使,从前遇到的情况为内积不变,相应对称操作以幺正算符表征对时间反演,波函数变为复共轭,应有定义:对变换,如果称θ为反幺正算符后一式所定义的算符称为反线性算符。一般而言,反幺正算符可写成θ=UK,U为幺正算符,K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用,即若
21、α>不是基矢,可展开为以
22、a’>为基矢的矢量:K的作用效果依赖于基矢的选取(因而U也必与基矢的选取有关)θ是反幺正的说明:θ是反线性的θ是反幺正的五、时间反演算符Θ时间反演态(运动反演态):Θ
23、α>如由上面讨论知,动量本征态
24、p>的时间
25、反演态:Θ
26、p>=
27、-p>时间反演算符的基本性质由态矢时间反演的对称性:得:-iHΘ=ΘiH,Θ应为反幺正算符HΘ=ΘH六、时间反演算符Θ的运算仅考虑Θ从左边作用于右矢,和利用及左右矢的对偶对应关系重要等式:这是因为对有故对厄米算符A,有若ΘAΘ-1=±A,称A在时间反演下具有偶(奇)对称由此,可得A在时间反演态的期望值:由,知ΘpΘ-1=-p类似地,ΘxΘ-1=x,Θ
28、x’>=
29、x’>从可知ΘJΘ-1=-J七、厄米算符的时间反演对称性八、波函数的变化由知:对球谐函数:可见:定理:若H在时间反演下不变,且能量本征态非简并,则相应波函数是实的。证:HΘ
30、n>=ΘH
31、n>=EnΘ
32、n
33、>,Θ
34、n>与
35、n>相同,故36、n>=37、n>*注意:时间反演态的动量空间波函数为Φ*(-p)九、自旋1/2体系的时间反演因(时间反演的效果)得由于有所以:对无自旋体系Θ2=1两者很不相同!十、一般角动量体系的时间反演由,得而故对任意
38、α>:此外:一般地可有:需要指出:最方便的相位约定依所处理的物理问题而定,但Θ2=±1与相位约定无关。十一、球张量的时间反演性质对若A是的分量,由于Wigner-Eckart定理只要考虑q=0的分量即可。对厄米球张量,其时间反演奇偶性由q=0分量确定:;由于x对应于k=1,且对时间反演是偶的,故对jm的本征态=0,这对非宇称本征态亦成立
39、十二、粒子与电和磁场的相互作用:Kramers简并电荷在静电场中,V(x)=eΦ(x),[H,Θ]=0由于[Θ,U(t,t0)]≠0,不存在量子数的时间反演守恒。但[H,Θ]=0对无自旋粒子导致非简并态波函数为实数更重要的推论是Kramers简并。由于
40、n>与Θ
41、n>同为H的本征态,若非简并,Θ
42、n>=eiδ
43、n>.对j半整数体系,则-
44、n>=ΘΘ
45、n>=Θeiδ
46、n>=
47、n>,故
48、n>与Θ
49、n>不可能为同一状态,存在简并,这不依赖于E的复杂程度。因此,具有不同奇偶电