分立对称性：晶格平移

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1、§4.1/2对称性空间平移对称性：T+(a)H(x,p;t)T(a)=H(x+a,p;t)时间平移对称性：T+(Δt)H(x,p;t)T(Δt)=H(x,p;t+Δt)转动不变性：D+(R)H(J)D(R)=H(RJ)空间反演对称性π+H(x,p,J;t)π=H(-x,-p,J;t)(非兼并态/一维束缚态有确定宇称）§4.3分立对称性：晶格平移晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重的应用。对一维周期势，τ+(a)V(x)τ(a)=V(x+a)=V(x),a为晶格常数。[H,τ(a)]=0,τ(a)和H可同时对角化.在H和τ(a)的共同本征矢中，由于τ并非厄米，τ的期

2、待值为复数且模为1。为求出τ(a)的本征态，先考虑无限高势垒的情形。此时电子只能局域于某格点附近。设相应能量本征态为

3、n>,H

4、n>=En

5、n>,n表示格点位置,不同

6、n>简并。虽然

7、n>是H的本征态,且H与τ(a)对易，

8、n>不是τ(a)的本征态。将不同

9、n>线性叠加,可得到τ(a)的本征形态:有限高势垒时，

10、n>并不完全局域于格点n，而是主要集中于格点n而随与n的距离而衰减。以

11、n>为基构造

12、θ>，

13、θ>仍为本征值为e-iθ的本征态由于取θ=ka，则Bloch定理可见晶格平移的本征态

14、θ>之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘：且，k空间范围称为Bril

15、louinZoneBloch定理能量本征值可见不同k=θ/a的态能量本征值不同.能量本征值紧束缚近似:<0

16、H

17、0>=E0,原来简并的能级被消简并，形成能量范围为E0-2Δ到E0+2Δ的能带。§4.4时间反演分立对称性一、牛顿力学的时间反演变换经典力学情形：一受中心力场作用的粒子其轨迹如图一、牛顿力学的时间反演变换若x(t)是牛顿方程的解，令t’=-t,有x(-t)也是牛顿方程的解(时间反演:xx,dx/dt-dx/dt)时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。二、电动力学的时间反演变换Maxwell方程：Lorentz力：对t-t变换,若则Maxwell

18、方程和Lorentz力形式不变。二、电动力学的时间反演变换即若上述讨论表明，经典物理中的时间变换为：t-t，xx,v-v(p-p),ρρ,EE,j-j,B-B三、薛定谔方程的时间反演变换对薛定谔方程，，作时间反演：可见Ψ(x,-t)与Ψ(x,t)满足不同的方程对上式取复共轭，得：可见对解Ψ(x,t)，有相应解Ψ*(x,-t)因Ψ(x)=

19、α>,时间反演波函数由

20、α>*给出四、反幺正算符若一对称操作使，从前遇到的情况为内积不变，相应对称操作以幺正算符表征对时间反演,波函数变为复共轭,应有定义：对变换,如果称θ为反幺正算符后一式所定义的算符称为反

21、线性算符。一般而言，反幺正算符可写成θ=UK，U为幺正算符，K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即若

22、α>不是基矢,可展开为以

23、a’>为基矢的矢量:θ是反幺正的说明：由θ是反线性的又θ是反幺正的五、时间反演算符Θ时间反演态（运动反演态）：Θ

24、α>上面讨论知,动量本征态

25、p>的时间反演态:Θ

26、p>=

27、-p>时间反演算符的基本性质：由态矢时间反演的对称性得：-iHΘ=ΘiH，Θ应为反幺正算符HΘ=ΘH五、时间反演算符Θ重要等式：这是因为对有故对厄米算符A，有若ΘAΘ-1=±A，称A在时间反演下具有偶(奇)对称由此，可得A在时间反演态的期待值：由，ΘpΘ-1=-

28、p类似地,ΘxΘ-1=x,Θ

29、x’>=

30、x’>从可知ΘJΘ-1=-J六、波函数的变化由于可知：对球谐函数：可见：定理：若H在时间反演下不变，且能量本征态非简并，则相应波函数是实的。证:HΘ

31、n>=ΘH

32、n>=EnΘ

33、n>,Θ

34、n>与

35、n>相同,故

36、n>=

37、n>*注：时间反演态的动量空间波函数为Φ*(-p)七、自旋1/2体系的时间反演因(时间反演的效果)得由于所以：对无自旋体系Θ2=1两者很不相同！八、一般角动量体系的时间反演由,得而故对任意

38、α>:此外：一般地：需要指出：最方便的相位约定依所处理的物理问题而定，但Θ2=±1与相位约定无关。九、球张量的时间

39、反演性质对若A是的分量，由于Wigner-Eckart定理只要考虑q=0的分量即可。对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定：由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本征态=0，这对非宇称本征态亦成立十、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并电荷在静电场中，V(x)=eΦ(x),[H,Θ]=0由于[Θ,U(t,t0)]≠0,不存在量子数的时间反演守恒。但[H,Θ]=0对无自旋粒子导致非简并态波函数为实数更重要的后果是Kramers简并。由于

40、n>与Θ

41、n>同为H的本征态，若非简并，Θ

42、n>=eiδ

43、n>.对j半整数体系，则-

44、n>=Θ