数学竞赛中的代数式求值经典问题.pdf

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1、数学竞赛中的代数式求值经典问题题型一、代数式恒等变形abc1.若1,则的值是()aba1bcb1cac1A．1．B．0．C．-1．D．-2．解析：1，则a，b，c均不为0．选A．2．若x33=1000，且x22496，则(x33)+(42-2x2y)-2(23)．解析：由于x33=1000，且x22496，因此要把(x33)+(42-2x2y)-2(23)分组、凑项表示为含x33及x22的形式，以便代入求值，为此有(x33)+(42-2x2y)-2(23)33+22-2x2(x33)-2(x22)=1000-2(-496)=19923．若m＋n－p＝0，则1111

2、11的值等于．m－＋n－－p－npmpmn解析：3，111111提示：m()n()p()npmpmnmmnnnpnpmpmnmpnpmn()()()nnmmpp11134．若2，x22=4，则x19921992的值是()A．4B．19922C．21992D．41992解析：由2①平方得x2-22=4②又已知x22=4③所以x，y中至少有一个为0，但x22=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x19921992=01992+(±2)1992=21992，选C．5．在等式

3、2中,当1时2,当1时20,则9b2．解析：以12代入2得2①以120代入2得20②①-②,222，所以11．因此9．于是9b2()+9b2=(-11)×(9)+9×112=990．6．已知a＋b＝－3，a2b＋2＝－30，则a2－＋b2＋11＝50．7．已知a12，则a1=2；1=0.4a4aa4a48．如果m－1＝－3，那么m3－1＝．mm311111解析：，提示：m3(m)(m21)(m)[(m)23]36m3mm2mm(3)[(3)23]369．三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式,又可表示为b0,的形式,则a19921993.a解析

4、：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是1．于是1．所以，a19921993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．10．如图6，D点在△的直角边上上，且2，3，若，，那么m2n2=.解析:勾股定理：m222=522n222=322可得：m2-n2=161711．已知7，22=49，33=133，44=406，试求1995()+6()的值.2分析：已知7，22=49，33=133，44=406．形式很对称，很容易诱使你将7两边平方，再减去22=49，…想利用乘法公式算出，但一试发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同

5、．事实上，平方后必出现a2x2与b2y2，而22中，a，b都不是平方，这一特点已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往一起凑这个最基本的方式去做．解：显然2=492，2=4923=492，3=492y相加得13333=49()()即49()-71337()19①同理3=1333，3=13334=1333，4=1333y相加得40644=133()(22)即133()-4940619()-758②由①、②联立，设，得71919758,解得2.5，1.5即2.5，1.5由7，7得2=7，2=7相加得4922=7()()所以1.5()=49-7×2.5∴21

6、此时即可求得=4987.5-9-178.5=4800说明：本题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力与观察综合能力，并且计算也要很细心，因此本题属于对学生数学素质综合检查的题目．本题改编自下面的问题“已知8，22=22，33=62，44=178，试求1995()+6之值”．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想，满足题设条件的a与b两数之和等于多少？你能独立地求出之值吗？(答3)题型二、多项式的带余除法1．设m2＋m－1＝0，则m3＋2m2＋1997＝．解析：原式＝m3＋m2－m＋m2＋m－1＋1998＝m（m2＋m－1）＋（m2＋m－1）＋19

7、98＝（m2＋m－1）（m＋1）＋1998由于m2＋m－1＝0，∴原式＝1998．2.如果x2－1=0，则x3+2x2+3=4．3.若x23x10,则x35x25x18204．如果x22x3，那么x47x38x213x1518。5．已知a32a2，则3a612a4a312a22a4=。6．若x22x5是x4px2q的一个因式，则pq的值是150．题型三、多项式展开式1.若(2x2x1)3