数学竞赛中的代数式求值经典问题

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1、数学竞赛中的代数式求值经典问题题型一、代数式恒等变形1.若abc=1,则的值是()A．1．B．0．C．-1．D．-2．解析：abc=1，则a，b，c均不为0．选A．2．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______．解析：由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，为此有(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=

2、(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=19923．若m＋n－p＝0，则的值等于______．解析：，4．若x-y=2，x2+y2=4，则x1992+y1992的值是()A．4B．19922C．21992D．41992解析：由x-y=2①平方得x2-2xy+y2=4②又已知x2+y2=4③所以x，y中至少有一个为0，但x2+y2=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x1992+y1992=01992+(±2)1992=21992，选C．5．在等式y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=-2,当x=-1时,y=20,则ab+

3、bc+9b2=______．解析：以x=1,y=-2代入y=a2+bx+c得a+b+c=-2①以x=-1,y=20代入y=ax2+bx+c得a-b+c=20②①-②,2b=-22，所以b=-11．因此a+c=9．于是ab+bc+9b2=b(a+c)+9b2=(-11)×(9)+9×112=990．6．已知a＋b＝－3，a2b＋ab2＝－30，则a2－ab＋b2＋11＝____50______．7．已知=-2，则=2；=0.8．如果m－＝－3，那么m3－＝____________．解析：，提示：9．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0,,b,的形式,则

4、a1992+b1993=________.解析：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是b=1．于是a=-1．所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．10．如图6，D点在Rt△ABC的直角边上BC上，且BD=2，DC=3，若AB=m，AD=n，那么=.解析:勾股定理：m2=BC2+AC2=52+AC2n2=DC2+AC2=32+AC2可得：m2-n2=1611．已知ax+by=7，ax2+by2=49，ax3+by3=133，ax4+by4=406，试求1995(x+y)+6xy-(a+b)的值.分析：已知ax+by=7，ax2+by

5、2=49，ax3+by3=133，ax4+by4=406．形式很对称，很容易诱使你将ax+by=7两边平方，再减去ax2+by2=49，…想利用乘法公式算出xy，但一试发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同．事实上，ax+by平方后必出现a2x2与b2y2，而ax2+by2中，a，b都不是平方，这一特点已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往一起凑这个最基本的方式去做．解：显然ax2=49-by2，by2=49-ax2ax3=49x-bxy2，by3=49y-ax2y相加得133=ax3+by3=

6、49(x+y)-xy(ax+by)即49(x+y)-7xy=1337(x+y)-xy=19①同理ax3=133-by3，by3=133-ax3ax4=133x-bxy3，by4=133y-ax3y相加得406=ax4+by4=133(x+y)-xy(ax2+by2)即133(x+y)-49xy=40619(x+y)-7xy=58②由①、②联立，设x+y=u，xy=v得7u-v=1919u-7v=58,解得u=2.5，v=-1.5即x+y=2.5，xy=-1.5由ax=7-by，by=7-ax得ax2=7x-bxy，by2=7y-axy相加得49=ax2+by2=7(x+y)-xy

7、(a+b)所以1.5(a+b)=49-7×2.5∴a+b=21此时即可求得=4987.5-9-178.5=4800说明：本题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力与观察综合能力，并且计算也要很细心，因此本题属于对学生数学素质综合检查的题目．本题改编自下面的问题“已知ax+by=8，ax2+by2=22，ax3+by3=62，ax4+by4=178，试求1995(x+y)+6xy之值”．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想，满足题设条件的a