数学竞赛中地代数式求值经典问题

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1、实用文档数学竞赛中的代数式求值经典问题题型一、代数式恒等变形1.若abc=1,则的值是()A.1.B.0.C.-1.D.-2.解析:abc=1,则a,b,c均不为0.选A.2.若x3+y3=1000,且x2y-xy2=-496,则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______.解析:由于x3+y3=1000,且x2y-xy2=-496,因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式,以便代入求值,为此有(x3-y3)+(

2、4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=19923.若m+n-p=0,则的值等于______.解析:,4.若x-y=2,x2+y2=4,则x1992+y1992的值是()文案大全实用文档A.4B.19922C.21992D.41992解析:由x-y=2①平方得x2-2xy+y2=4②又已知x2+y2=4③所以x,y中至少有一个为0,但x2+y2=4.因此,x,y中只能有一个为0,另一个为2或-2.无论哪种情况,都有x1

3、992+y1992=01992+(±2)1992=21992,选C.5.在等式y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=-2,当x=-1时,y=20,则ab+bc+9b2=______.解析:以x=1,y=-2代入y=a2+bx+c得a+b+c=-2①以x=-1,y=20代入y=ax2+bx+c得a-b+c=20②①-②,2b=-22,所以b=-11.因此a+c=9.于是ab+bc+9b2=b(a+c)+9b2=(-11)×(9)+9×112=990.6.已知a+b=-3,a2b+ab2=-30,则a2-ab+b2+

4、11=____50______.7.已知=-2,则=2;=0.8.如果m-=-3,那么m3-=____________.解析:,提示:9.三个互不相等的有理数,既可表示为1,a+b,a的形式,又可表示为0,,b,的形式,则a1992+b1993=________.解析:由于三个互不相等的有理数,既可表示为1,文案大全实用文档下,只能是b=1.于是a=-1.所以,a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2.10.如图6,D点在Rt△ABC的直角边上BC上,且BD=2,DC=3,若AB=m,A

5、D=n,那么=.解析:勾股定理:m2=BC2+AC2=52+AC2n2=DC2+AC2=32+AC2可得:m2-n2=1611.已知ax+by=7,ax2+by2=49,ax3+by3=133,ax4+by4=406,试求1995(x+y)+6xy-(a+b)的值.分析:已知ax+by=7,ax2+by2=49,ax3+by3=133,ax4+by4=406.形式很对称,很容易诱使你将ax+by=7两边平方,再减去ax2+by2=49,…想利用乘法公式算出xy,但一试发现此路不通.由于受所作某些训练题型模式的影响,

6、很多同学仍企图走此路,以致最后陷入死胡同.事实上,ax+by平方后必出现a2x2与b2y2,而ax2+by2中,a,b都不是平方,这一特点已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通.应及时转向,通过一项一项表示,往一起凑这个最基本的方式去做.解:显然ax2=49-by2,by2=49-ax2ax3=49x-bxy2,by3=49y-ax2y相加得133=ax3+by3=49(x+y)-xy(ax+by)文案大全实用文档即49(x+y)-7xy=1337(x+y)-xy=19①同理ax3=133-by3,by3=133

7、-ax3ax4=133x-bxy3,by4=133y-ax3y相加得406=ax4+by4=133(x+y)-xy(ax2+by2)即133(x+y)-49xy=40619(x+y)-7xy=58②由①、②联立,设x+y=u,xy=v得7u-v=1919u-7v=58,解得u=2.5,v=-1.5即x+y=2.5,xy=-1.5由ax=7-by,by=7-ax得ax2=7x-bxy,by2=7y-axy相加得49=ax2+by2=7(x+y)-xy(a+b)所以1.5(a+b)=49-7×2.5∴a+b=21此时即

8、可求得=4987.5-9-178.5=4800说明:文案大全实用文档本题虽然所用知识单元块均在初一学过,但解此题需要考生有较强的应变能力与观察综合能力,并且计算也要很细心,因此本题属于对学生数学素质综合检查的题目.本题改编自下面的问题“已知ax+by=8,ax2+by2=22,ax3+by3=62,ax4+by4=178,试求1995(x+y)+6xy之值”

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