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时间:2020-08-27
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1、精品文档基本不等式及应用一、考纲要求:1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.了解证明不等式的基本方法——综合法.二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a+bab≤a>0,b>0a=b2三、常用的几个重要不等式a+b(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)(2)ab≤()2(a,b∈R)2a2+b2a+bba(3)≥()2(a,b∈R)(4)+≥2(a,b同号且不为零)22ab上述四个不等式等号成立的条件都是a=b.四、算术平均数与几何平均数
2、a+b设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为:两个正数的2算术平均数不小于它们的几何平均数.四个“平均数”的大小关系;2ababa2b2aba,b∈R+:22ab当且仅当a=b时取等号.五、利用基本不等式求最值:设x,y都是正数.(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时和x+y有最小值2P.1(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时积xy有最大值S2.4强调:1、“积定和最小,和定积最大”这两个结论时,应把握三点:“一正、二定、三相等、四最值
3、”.当条件不完全具备时,应创造条件.正:两项必须都是正数;定:求两项和的最小值,它们的积应为定值;求两项积的最大值,它们的和应为定值。第1页共7页1。欢迎下载精品文档等:等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时,如何处理?(若最值取不到可考虑函数的单调性.)想一想:错在哪里?32.已知函数f(x)x(x2),x211.已知函数f(x)x,求函数的求函数的最小值.x最小值和此时x的取值.33解:f(x)x2x11x2x2解:f(x)x2x2xxx21当且仅当3即x3时
4、,函数当且仅当x即x1时函数xxx2取到最小值2.的最小值是6。大家把x23代入看一看,会有什么发现?用什么方法求该函数的最小值?113、已知两正数x,y满足x+y=1,则z=(x+)(y+)的最小值为________.xy111解一:因为对a>0,恒有a+≥2,从而z=(x+)(y+)≥4,所以z的最小值是4.axy2+x2y2-2xy22解二:z==(+xy)-2≥2·xy-2=2(2-1),所以z的最小值是2(2-1).xyxyxy【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备
5、,因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件,只有等号成立时,所求出的最值才是正确的.111yx1x+y2-2xy2【正确解答】z=(x+)(y+)=xy+++=xy++=+xy-2,xyxyxyxyxyxyx+y1211令t=xy,则06、足,这是造成解题失误的重要原因.如函数y=1+2x+(x<0)有最大值1-26而不是有最小值1+x第2页共7页2。欢迎下载精品文档26.(2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否都能保证等号成立,并且要注意取等号条件的一致性,否则就会出错.课堂纠错补练:π4若07、,最后推得所证问题,其特征是“由因导果”.2.证明不等式时要注意灵活变形,多次利用基本不等式时,注意每次等号是否都成立.同时也要注意应用基本不等式的变形形式.例1:(1)已知a,b,c均为正数,求证:a2b2b2c2c2a2abc(abc)(2)已知a,b,c为不全相等的正数,求证:ab(ab)bc(bc)ac(ca)6abc11(3)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:+≥4.ab111练习:已知a、b、c为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.8、abc考点2利用基本不等式求最值第3页共7页3欢迎下载。精品文档(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值.(2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.例4:(1)设0
6、足,这是造成解题失误的重要原因.如函数y=1+2x+(x<0)有最大值1-26而不是有最小值1+x第2页共7页2。欢迎下载精品文档26.(2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否都能保证等号成立,并且要注意取等号条件的一致性,否则就会出错.课堂纠错补练:π4若07、,最后推得所证问题,其特征是“由因导果”.2.证明不等式时要注意灵活变形,多次利用基本不等式时,注意每次等号是否都成立.同时也要注意应用基本不等式的变形形式.例1:(1)已知a,b,c均为正数,求证:a2b2b2c2c2a2abc(abc)(2)已知a,b,c为不全相等的正数,求证:ab(ab)bc(bc)ac(ca)6abc11(3)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:+≥4.ab111练习:已知a、b、c为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.8、abc考点2利用基本不等式求最值第3页共7页3欢迎下载。精品文档(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值.(2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.例4:(1)设0
7、,最后推得所证问题,其特征是“由因导果”.2.证明不等式时要注意灵活变形,多次利用基本不等式时,注意每次等号是否都成立.同时也要注意应用基本不等式的变形形式.例1:(1)已知a,b,c均为正数,求证:a2b2b2c2c2a2abc(abc)(2)已知a,b,c为不全相等的正数,求证:ab(ab)bc(bc)ac(ca)6abc11(3)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:+≥4.ab111练习:已知a、b、c为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.
8、abc考点2利用基本不等式求最值第3页共7页3欢迎下载。精品文档(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值.(2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.例4:(1)设0
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