基本不等式柯西不等式知识点复习.pdf

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1、精品文档基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．3．了解证明不等式的基本方法——综合法．二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a＋bab≤a>0，b>0a＝b2三、常用的几个重要不等式a＋b(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(2)ab≤()2(a，b∈R)2a2＋b2a＋bba(3)≥()2(a，b∈R)(4)＋≥2(a，b同号且不为零)22ab上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.四、算术平均数与几何平均数

2、a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的2算术平均数不小于它们的几何平均数．四个“平均数”的大小关系；2ababa2b2aba，b∈R+：22ab当且仅当a＝b时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2P.1(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值S2.4强调：1、“积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值

3、”.当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必须都是正数；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。第1页共7页1。欢迎下载精品文档等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）想一想:错在哪里？3２．已知函数f(x)x(x2)，x21１．已知函数f(x)x，求函数的求函数的最小值．x最小值和此时x的取值．33解：f(x)x2x11x2x2解:f(x)x2x2xxx21当且仅当3即x3时

4、，函数当且仅当x即x1时函数xxx2取到最小值2.的最小值是6。大家把x23代入看一看，会有什么发现？用什么方法求该函数的最小值？113、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．xy111解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x＋)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.axy2＋x2y2－2xy22解二：z＝＝(＋xy)－2≥2·xy－2＝2(2－1)，所以z的最小值是2(2－1)．xyxyxy【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备

5、，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．111yx1x＋y2－2xy2【正确解答】z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，xyxyxyxyxyxyx＋y1211令t＝xy，则0

6、足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y＝1＋2x＋(x<0)有最大值1－26而不是有最小值1＋x第2页共7页2。欢迎下载精品文档26.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．课堂纠错补练：π4若0

7、，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．例1：（1）已知a,b,c均为正数，求证：a2b2b2c2c2a2abc(abc)（2）已知a,b,c为不全相等的正数，求证：ab(ab)bc(bc)ac(ca)6abc11（3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋≥4.ab111练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.

8、abc考点2利用基本不等式求最值第3页共7页3欢迎下载。精品文档(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．例4：(1)设0