基本不等式（四）柯西不等式（一）（带答案）

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1、基本不等式（四）柯西不等式柯西不等式一．填空题1．（2013年湖南省高考试题）已知，，则的最小值为__________．答案：。解答：，，当时等号成立。2．（2014年陕西省高考试题）设，且，，则的最小值为__________．答案：；解答：，，当且仅当。3．（2013年陕西省高考试题）已知都为正数，且，，则的最小值为___________________．答案：；解答：，当且仅当时等号成立。4．（2013年湖北省高考试题）设，且满足，，则_________．答案：；解答：，即等号成立，，又，，，，。7/7基本不等式（四）柯西不等式二．解答

2、题5．（2013年全国高考试题）设均为正数，且．求证：．证明一：（柯西不等式），又，，当且仅当时等号成立．证明二：（均值不等式），，当且仅当时等号成立。证明三：原不等式注意到，，同理，，，，原不等式成立，当且仅当时取到等号。6．设都是正实数，且，求证：．证明：，，又，7/7基本不等式（四）柯西不等式．7．设实数满足，求证：．证明：，，当且仅当时等号成立。8．已知，求证：．证明一：，，即，此时；证明二：，等号成立，即，整理得。9．（1）设，都是实数，且（其中），求证：．（2）设，都是正实数（其中），且，求证：．7/7基本不等式（四）柯西不等式

3、证明：（1），，当且仅当时等号成立。（2）。10．（，其中且）都是正数，求证：．证明：，；，原不等式为得证。7/7基本不等式（四）柯西不等式11．已知实数满足，且（），求证：．（）证明：根据柯西不等式，，即，整理得，解之得．12．设，且．（1）求的最小值；（2）求的最小值．(1)解一：设，，，，则原式；当时等号成立。解二：，，7/7基本不等式（四）柯西不等式，，全部相加得原式，当时等号成立。解三：原式，原式，当时可以等号成立。（2）解一：（配项），，，，全部相加，得原式，当时等号成立。解二：（柯西+幂平均）原式（柯西不等式）（幂平均不等式）

4、解三：（柯西变式）原式7/7基本不等式（四）柯西不等式，而，，原式。7/7