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时间:2019-11-04
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1、基本不等式(四)柯西不等式柯西不等式一.填空题1.(2013年湖南省高考试题)已知,,则的最小值为__________.答案:。解答:,,当时等号成立。2.(2014年陕西省高考试题)设,且,,则的最小值为__________.答案:;解答:,,当且仅当。3.(2013年陕西省高考试题)已知都为正数,且,,则的最小值为___________________.答案:;解答:,当且仅当时等号成立。4.(2013年湖北省高考试题)设,且满足,,则_________.答案:;解答:,即等号成立,,又,,,,。7/7基本不等式(四)柯西不等式二.解答
2、题5.(2013年全国高考试题)设均为正数,且.求证:.证明一:(柯西不等式),又,,当且仅当时等号成立.证明二:(均值不等式),,当且仅当时等号成立。证明三:原不等式注意到,,同理,,,,原不等式成立,当且仅当时取到等号。6.设都是正实数,且,求证:.证明:,,又,7/7基本不等式(四)柯西不等式.7.设实数满足,求证:.证明:,,当且仅当时等号成立。8.已知,求证:.证明一:,,即,此时;证明二:,等号成立,即,整理得。9.(1)设,都是实数,且(其中),求证:.(2)设,都是正实数(其中),且,求证:.7/7基本不等式(四)柯西不等式
3、证明:(1),,当且仅当时等号成立。(2)。10.(,其中且)都是正数,求证:.证明:,;,原不等式为得证。7/7基本不等式(四)柯西不等式11.已知实数满足,且(),求证:.()证明:根据柯西不等式,,即,整理得,解之得.12.设,且.(1)求的最小值;(2)求的最小值.(1)解一:设,,,,则原式;当时等号成立。解二:,,7/7基本不等式(四)柯西不等式,,全部相加得原式,当时等号成立。解三:原式,原式,当时可以等号成立。(2)解一:(配项),,,,全部相加,得原式,当时等号成立。解二:(柯西+幂平均)原式(柯西不等式)(幂平均不等式)
4、解三:(柯西变式)原式7/7基本不等式(四)柯西不等式,而,,原式。7/7
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